Некоторые свойства дифференциала

1. Дифференциал суммы (разности) функций равен сумме (разности) дифференциалов функ­ций.

у = u ± v, dy = du ± dv.

2. Дифференциал произведения двух функций:

у = u * v, dy = vdu + udv.

3. Дифференциал частного двух функций:

y =u/v, dy =(vdu – udv)/v²

4. Дифференциал произведения постоянной величины на функцию.

d(Cy) = Cdy

Неопределенный интеграл

Итак, мы рассмотрели понятие производной, дифференциала, их применение для некоторых конкретных задач. Например: зная путь движе­ния точки можно найти скорость (υ = S`_t = dS / dt). Зная уравнение кривых, можно найти tg α = у_х' в любой точке. Однако часто приходится решать обратную задачу: зная ско­рость, найти путь, зная tg α найти уравнение кривой. Иными сло­вами по производной найти функцию. Практически удобнее отыскивать функцию по ее дифферен­циалу.

Например: Дана производная функции у¹_x=5х⁴ или ее дифференциал dy = 5x⁴dx. Определить саму функцию у = F(x). Та­кую функцию назы­вают первообразной.

Первообразная функ­ция - это функция, кото­рая имеет производную, равную заданной.

Однако для любой функции первообразных бесконечное множество, отличающихся постоян­ной величиной.

Совокупность первообразных F(x) + с, произ­водная кото­рых равна f(x), называется неопре­деленным интегралом и обо­значается:

∫f(x)dx

∫f(x)dx = F(x) + C, если F'_x = f(x)

f(x) - подынтегральная функция

f(x) dx - подынтегральное выражение.

Действия, состоящие в разыскивании неопре­деленного ин­теграла данной функции, называ­ется неопределенным интегри­рованием.

Основные свойства неопределенного инте­грала

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подын­тегральному выражению.

d∫f (x)dx = f (x)dx.

Это свойство следует из определения неопреде­ленного интег­рала.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции ра­вен этой функции, сложенной с произвольной постоянной.

∫dF(x) = F(x) + C

3. Постоянный множитель выносится за знак интеграла.

∫αf (x)dx = α∫f(x)dx,α = const

4. Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов каждой функции.

∫ [f₁(x)±f₂(x)+..]dx = ∫f₁(x)dx ± ∫f₂(x)dx ±..

Так же как и для определения производной, наиболее часто встречающиеся интегралы, записываются в виде таблиц.

Таблица неопределенных интегралов

1.∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/n+1+C, n ≠ -1

2. ∫dx/x = lnx + C

3. ∫e^x dx = e^x+C

4. ∫sinxdx = - cosx + C

5. ∫cosxdx = sinx + C

6. ∫dx/cos²x = tgx +C

7. ∫dx/sin²x = -ctgx + C

Основные методы интегрирования

1. Метод разложения подинтегралыюй функции на слагаемые.

Пример: ∫ (x + l)(x - 2)dx = ∫ (x²-x-2)dx = ∫x²dx - ∫xdx - ∫2xdx = ∫(x³/3 +C₁) – (x²/2 + C₂) - (2x + C₃) = x³/3 – x²/2 -2x + C, где С = С, - С₂ - С₃.

2. Метод подстановки (замены переменной).

Пример: ∫e^3xdx = 1/3∫e^zdz = 1/3e^z + C = 1/3e^3x + C.

Введем новую переменную: Зх = z.

Найдем ее дифференциал: dz = 3dx.

Определим dx через dz: dx = dz/3

Заменим в нашем выражении переменную х через z и вычис­лим интеграл.

3. Метод интегрирования по частям.

∫udv = u * v - ∫vdu(l)

Приведенная формула показывает, что интеграл Judv приво­дит к интегралу ∫vdu, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным.

Пример: ∫lnxdx, полагая здесь u = lnx, dv = dx, получим:

du = dx/x и v =x

Подставляя в формулу (1), находим решение:

∫lnxdx = xlnx - ∫x(dx/x) = xlnx - ∫dx = xlnx - x + C = x(lnx-l) + C.

Пример: Найти уравнение пути равноускорен­ного движения.

а = (υ_t – υ₀)/ t, υ_t = υ₀ + at, υ_t = dS/dt, dS = υ_tdt, dS = (υ₀ =at)dt.

Интегрируем обе части равенства.

∫dS = ∫ (υ₀ +at)dt = ∫dS = υ₀ ∫dt + a∫tdt, S = υ₀t + at²/2 + C.

В момент t = 0, S = 0 и С=0, тогда S = υ₀t + at²/2

Определенный интеграл

Задача: Определить площадь S криволинейной трапеции, ограниченную двумя прямыми х = а, х = b, осью абсцисс (у=0) и функ­цией у = f(x). Разобьем интервал [ab] на несколько равных отрез­ков. Площадь указанной фигуры будет равна сумме площадей криволинейных трапе­ций. Приблизительно можно вычислить эту пло­щадь как сумму прямоу­гольников, основанием ко­торых являются приращения аргумента ∆xi, а высотой значения функции в середине отрез­ка приращения аргумента. Обозначим ее f(xi). Аналитически это можно выразить так:

S = f(x₁)∆x₁ +f(x₂)∆x₂+...+ f(x_n)∆x_n = ∑f(xi)∆x_i

Более точно мы определим площадь, если будем разбивать интервал [ab] на большее число отрезков. Тогда ∆x_i → 0. Таким образом, пло­щадь криволинейной трапеции будет равна:

S_жт.Тт = lim_∆x→0∑f(x_i)∆x_i,

где ∑f(x_i)∆x_i - называется интегральной суммой.

Определение: Функция f(x) в некотором интервале от х = а до х = b интегрируема, если существует такое число J, к которому стремится интегральная сумма при ∆х → 0.

Это выражение получило название определен­ного интеграла и обозначается:

J = lim_∆x→0∑f(x_i)∆x_i

где [ab] - область интегрирования, а - нижний предел интегрирования, b - верхний предел интегрирования.

В нашей задаче: S = ∫f (x)dx.

Определенный интеграл находится по правилу Ньютона - Лейбница:

Определенный интеграл от функции равен разности первооб­разной этой функции в подстановке верхнего и нижнего пределов.

∫f(x)dx=F(x)|^b_a = F(b) - F(a).

Некоторые свойства определенного инте­грала

1. При перестановке местами пределов интегри­рования знак интеграла меняется на противопо­ложный.

∫^b_a f(x)dx = -∫_b^a (x)dx.p

2. Постоянный множитель выносится за знак определенного интеграла.

∫^b_a Cf(x)dx = C∫^b_a f(x)dx.

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от каждой функции в отдельности.

∫^b_a [f₁ (x) ± f₂(x) ±...± f_n(x)]dx = ∫^b_a f_l(x)dx ± ∫^b_a f₂(x)dx ±...± ∫^b_a f_n(x)dx.

4. Если функция f(x) на отрезке [ab] отрица­тельна, то для вы­числения площади интеграл нужно брать с отрицательным знаком.

-∫^b_a f(x)dx

5. Если функция f(x) пересекает ось ОХ, то для вычисления площади необхо­димо разбивать определенный интеграл на два: один для поло­жительных значе­ний f(x), второй для отрица­тельных.

∫^b_a f (x)dx = ∫^c_a f (x)dx – ∫^b_c f (x)dx.

Техника вычисления определенного инте­грала

Общее правило:

1. Найти неопределенный интеграл, т. е. перво­образную функцию.

2. Найти разность первообразных функций при подстановке верхнего и нижнего пределов.

Пример: ∫¹₀ (l – x)^1/2dx = -∫⁰₁ z^1/2dz = -2/3z^3/2|⁰₁ = 2/3

z = 1 - х, dx = -dz

Пример: Вычислить площадь фигуры, заклю­ченную между функцией у = х² в интер­вале от 1 до 2.

S= ∫²₁ x²dx = x³/3│²₁ = 2³/3 – 1³/3 =8/3 – 1/3 = 7/3 кв.ед.