Физические основы гемодинамики

Гидродинамика — это раздел физики, изучающий законы движения и силы взаимодействия в жидкостях.

Механические свойства жидкости обусловлены силами, действующими между молекулами. Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости по трубе переменного сечения.

Течение жидкости называется стационарным или установившимся, если с течением времени скорость частиц жидкости в каждой точке потока не изменяется.

Идеальной называется жидкость, не обладающая внутренним трением и несжимаемая. К такой жидкости по своим свойствам близок гелий при сверхнизких температурах. Для идеальной жидкости при стационарном течении скорости течения обратно пропорциональны площадям поперечного сечения.

υ₁/υ₂=S₁/S₂ υS=const

Это уравнение неразрывности струи. Уравнение Бернулли и его следствие.

Для идеальной жидкости, при установившемся течении сумма трех энергий (потенциальной энергии сил давления, потенциальной энергии сил тяжести и кинетической энергии) для любого сечения есть величина постоянная.

P₁V + mgh₁ + (mυ₁²)/2 = P₂V = mgh₂ + (mυ₂²)/2

PV + mgh + (mυ²)/2 =const

Уравнение Бернулли может быть выражено и в другом виде. Поделим все члены уравнения на V.

(PV)/V + (mgh)/V + (mυ²)/2V = const

P + pgh + (pυ²)/2 = const

При стационарном течении идеальной жидкости сумма трех давлений есть величина постоянная в любом поперечном сечении потока.

Р - называется статическим давлением; pgh - гидростатическим давлением; pυ² /2 - динамическим давлением. Рассмотрим физическую сущность этих видов давлений в жидкости.

Статическое или истинное давление - это давление, с которым один слой жидкости давит на другой. Статическое давление может создаваться различными внешними причинами (за счёт работы насоса, за счёт потенциальной энергии воды в водонапорной башне и т.д.).

Гидростатическое давление обусловлено весовым давлением вышележащего слоя (столба) жидкости на нижележащий.

Динамическое давление - это давление, создаваемое движущейся жидкостью. Оно проявляется при торможении жидкости и обусловлено кинетической энергией частиц жидкости.

Измеряется статическое давление при помощи прямой манометрической трубки, плоскость отверстия которой расположена параллельно движению жидкости. Полное давление измеряется манометрической

трубкой, изогнутой под прямым углом навстречу движению жидкости. Это давление является суммой статического и динамического давлений.

Динамическое давление определяют по разности между полным и измеренным одновременно статическим давлением. Рдин= Рn - Рст В нашем примере Рдин= h₂ - h₁

Единицы измерения давления: СИ - Н/м² [Па], СГС - дн/см², 1Па = 10 дн/см².

Внесистемные единицы давления: техническая атмосфера (ат), 1ат = к Гс/см² = 9,8 10⁴Па,

физическая атмосфера (атм), 1атм = 760 мм.рт.ст. = 1,013 10⁵ Па, 1мм.рт.ст. = 13.6 мм.вод.ст.

В метеорологии применяется единица давления, называемая баром, 1 бар = 10⁵ Па = 750 мм.рт.ст.

Рассмотрим течение идеальной жидкости по горизонтальной трубе переменного сечения. Опыт показывает, что статическое давление в узкой части меньше, чем в широкой. Это явление связано с тем, что в узкой части трубы скорость выше, чем в широкой. Так как трубка расположена горизонтально, то уравнение Бернулли выглядит следующим образом:

P₁ + (pυ₁²)/2 = P₂ +(pυ₂²)/2

Так как сечение S, > S₂, то на основании уравнения неразрывности струи υ2 > υ1. Чтобы сохранить равенство в уравнении Бернулли необходимо Р, > Р₂. Если Р₂ будет меньше атмосферного давления, тогда в систему будет засасываться воздух - это явление получило название гидродинамического парадокса. На основе этого явления в медицинской практике используется водоструйный насос и ингалятор. Они просты по устройству, бесшумны в работе, не требуют смазки, гигиеничны.

Пусть по горизонтальной трубе одинакового сечения движется реальная вязкая жидкость (Ньютоновская) под давлением Р. Так как давление на все слои одинаково, то можно ожидать одинаковую скорость движения всех слоев. Однако опыт показывает, что скорость слоев увеличивается к центру трубы. Если жидкость смачивает стенки трубы, то скорость первого слоя ровна нулю вследствие сильного взаимодействия молекул стенок трубки и молекул жидкости. В последующих слоях она увеличивается постепенно от слоя к слою, вследствие взаимодействия молекул жидкости друг с другом. Эти силы взаимодействия между слоями жидкости носят название сил внутреннего трения или сил вязкости. Они обусловлены:

1. Потенциальными силами взаимодействия между молекулами жидкости.

2. Перемещением молекул жидкости из одного слоя в другой.

Например: молекулы 3-го слоя, обладающие меньшей кинетической энергией по сравнению с молекулами 4-го слоя, перемещаясь в него, уменьшают общую кинетическую энергию, т.е. как бы затормаживают его.Было выяснено опытным путём, что силы внутреннего трения между слоями жидкости зависят:

1. От площади соприкасающихся слоев Fη ~ S

2. От градиента скорости Fη ~ dυ/dx

Физический смысл градиента скорости:

Градиентом любой физической величины называется изменение этой величины, отнесённое к расстоянию, вдоль которого это изменение происходит.

3. Силы внутреннего трения зависят от природы жидкости, так как молекулы различных жидкостей находятся на различных расстояниях и имеют различную скорость, а следовательно и кинетическую энергию. Эта зависимость учитывается коэффициентом вязкости - η. Таким образом, силы внутреннего трения зависят от природы жидкости, прямо пропорциональны градиенту скорости и площади соприкасающихся слоев.

Fη = η (dυ/dx)S

Эта формула получила название формулы Ньютона. Если площадь соприкасающихся слоев S = 1 и градиент скорости dυ/dx = 1, то Fтр = η

Коэффициентом вязкости или вязкостью жидкости называется величина численно равная силе трения, возникающей между двумя слоями жидкости, соприкасающимися на площади равной единице и при градиенте скорости между ними равным единице.

Коэффициент вязкости измеряется в системе СИ: η =Fηdx/Sdυ; Н м / м² (м/с) = Н с / м² = Па с

В системе СГС: Пуаз (Пз) = дн с / см²; Н с / м² = 10⁵ дн с / 10⁴ см² = 10 Пз. В медицине принято измерять вязкость в Пуазах. Коэффициент вязкости зависит не только от природы жидкости, но и от температуры. С повышением температуры коэффициент вязкости уменьшается. Это объясняется тем, что с повышением температуры расстояния между молекулами увеличиваются, а силы взаимодействия ослабляются.

Ввиду больших трудностей, возникающих при непосредственном измерении вязкости её определяют косвенным путём. Наибольшее применение имеют методы: падающего шарика и капиллярного визкозиметра. Метод падающего шарика основан на законе Стокса. Стокс установил, что на небольшое тело шаровидной формы, перемещающееся в жидкости, действует сила трения, прямо пропорциональная радиусу этого тела, его скорости и коэффициенту вязкости жидкости.

Fтр = 6πηrυ

Если бросить в жидкость металлический шарик диаметром 0,2—0,3 мм, то он будет двигаться в жидкости равномерно. На движущийся шарик будут действовать три силы

1. Сила тяжести Р = mg, направленная вертикально вниз.

2. Выталкивающая сила FB, направленная вертикально вверх.

3. Сила трения FTp, направленная также вертикально вверх.

По первому закону Ньютона тело двигается равномерно, если равнодействующая всех сил, действующих на него, равна 0.

Р = Fтр + Fв, откуда Fтр = Р - Fв

По закону Стокса Fтр = 6πηrυ,

P = mg; m = p_TV; P=p_TV_Tg =4/3 πr³p_Tg

По закону Архимеда Fвыт = p_жV_Tg = 4/3 πr³р_жg

6πηrυ=4/3 πr³g (p_Т – p_Ж) η=2/9 (gr²(p_Т - p_Ж)/υ)

Радиус шарика можно измерить с помощью микроскопа с окулярным микрометром, скорость движения шарика можно определить по формуле V = s /t, измерив линейкой s, а секундомером - t. Плотность вещества шарика и исследуемой жидкости найдём из специальных таблиц при заданной температуре. По приведенной формуле можно вычислить коэффициент вязкости. Метод требует большого количества жидкости, жидкость должна быть прозрачной. Метод довольно точен, используется в санитарии. В медицинской практике для определения коэффициента вязкости крови, спиномозговой жидкости и других биологических жидкостей пользуются методом капиллярного вискозиметра, основанный на законе Гагена-Пуазейля. Они установили, что объём жидкости, протекающей через поперечное сечение капилляра (R<1мм) в единицу времени прямо пропорционален R⁴, dP/dl и обратно пропорционален η, коэффициент пропорциональности в системе СИ равен π/8.

Q=(πR⁴dP)/(8ηdl)

где dP/dl — градиент давления, dP — разность давлений в начале и в конце капилляра, dl — длина капилляра. При пропускании жидкостей через капилляры с одинаковым радиусом при одинаковом градиенте давления, получим:

V₁/t = πR⁴/8η₁dl объём 1 жидкости

V₂/t = πR⁴/8η₂dl объем 2 жидкости

Найдём относительную вязкость, поделив 1 выражение на 2.

η₂/η₁ = V₁/V₂ - формула Гагена-Пуазейля.

Вискозиметр состоит из двух пипеток - капилляров, укреплённых на общей подставке. Один капилляр имеет кран. Сначала втягивая воздух заполняют капилляр (б) стандартной жидкостью, как правило водой, до нулевого деления, закрывают кран и затем заполняют капилляр (а) исследуемой жидкостью до нулевого деления. Открыв кран, втягивают обе жидкости одновременно так, чтобы исследуемая жидкость дошла до деления.

Тогда число делений трубки (б) укажет относительную вякость. Зная η₁, определим η₂ по формуле:

η₂ = η₁V₁

Преимущество и недостатки этого метода:

1. Позволяет измерять вязкость небольшого количества.жидкости;

2. Быстрота измерения (особенно для крови — быстро свёртывается);

3. Измерение вязкости непрозрачных жидкостей.

Недостаток — малая точность ввиду отсутствия стандарта. Течение жидкости называется ламинарным или слоистым, если поток жидкости представляет собой совокупность слоев, перемещающихся относительно друг друга без перемешивания. При некоторой высокой скорости течение становится турбулентным (вихревым), когда происходит перемешивание слоев жидкости. При турбулентном течении жидкости возрастают силы трения, а следовательно и работа по преодолению сил трения. Это течение жидкости сопровождается звуковым феноменом.

Скорость, при которой ламинарное течение переходит в турбулентное называется критической (υ кр.)

Величина этой скорости зависит от вязкости жидкости, радиуса трубки, плотности жидкости и состояния внутренней поверхности. Критическая скорость вычисляется по формуле:

υкр = (R_сеη)/pD

где η - вязкость жидкости, р - плотность, D - диаметр трубки. Безразмерная величина R_се называется числом Рейнольдса. Для гладких трубок R_се = 2300, для трубок с шероховатыми поверхностями эта величина меньше. Течение крови в артериях при нормальных условиях является ламинарным. Турбулентность проявляется только в некоторых местах, например, за полулунными клапанами аорты. В некоторых, патологических случаях, при сужении кровеносных сосудов, пороках сердца, изменении коэффициента вязкости крови, турбулентность распространяется на более длинные участки артерии, что может служить диагностическим целям. При течении идеальной жидкости по горизонтальной трубе постоянного сечения гидростатическое давление в любом сечении одинаково (pgh₁ = pgh₂ =...), h₁ = h₂ =..., динамическое давление так же одинаково в любом сечении (pυ₁²/ 2 = рυ₂² / 2 =...), т.к. υ₁ = υ₂=... по уравнению неразрывности струи. Следовательно и статическое давление постоянно по всей длине трубы на основании уравнения Бернулли (Р₁ = Р₂). Для реальной жидкости гидростатическое и динамическое давления в любом сечении одинаковы по той же причине, что и для идеальной жидкости. Однако уравнение Бернулли для реальной жидкости, как частный случай закона сохранения энергии, должно включать работу против сил трения.

P₁V = P₂V + A_TP или P₁V = P₂V + F_TPL

Следовательно, т. к. расстояние от начала трубы L увеличивается, то Р₂ уменьшается. Это подтверждается и экспериментально. Манометрические трубки, вставленные в стенку трубы, измеряют статическое давление и оно постепенно уменьшается.

Величина градиента давления зависит:

1. От коэффициента вязкости жидкости, т.к. Fтр ~ η,

2.От скорости течения жидкости прямо пропорционально, т.к. сила сопротивления возрастает пропорционально скорости,

3. Если труба разветвляется, то от числа разветвлений - прямо пропорционально.

Движение жидкости по трубам с эластичными стенками отличается от движения жидкости по трубам с упругими стенками своей непрерывностью. Можно провести аналогию между законом Пуазейля и Ома для участка цепи

Q=(πr⁴dP)/(8ηL), J=U/R

Разность потенциалов U соответствует разности давлений на концах трубы dP, сила тока J соответствует количеству жидкости Q, а электрическое сопротивление R - гидравлическому сопротивлению X

Q=(dP)/X, X=(8ηL)/ (πr⁴)

Гидравлическое сопротивление X пропорционально вязкости η, длине трубы L и обратно пропорционально радиусу трубы в четвертой степени. Общее гидравлическое сопротивление последовательных и параллельных участков сосудов подсчитываются также как и электрическое сопротивление;

Хо6щ = X1 + Х2 + Х3 + ... - при последовательном соединении,

1 / Хо6щ= 1 / X1 + 1 / Х2 + 1 / Х3 +... — при параллельном соединении

Рассмотрим особенности течения крови по эластичным сосудам. Источником энергии, под действием которого осуществляется перемещение крови, является сердце. При сокращении левого желудочка в аорту, заполненную кровью, выбрасывается дополнительно несколько десятков мл. крови, так называемый ударный объём. Давление в аорте повышается - это давление называется систолическим. При этом эластичные стенки аорты дают прирост объема AV, а часть полной энергии переходит в потенциальную энергию деформации сосудистой стенки, но так как обратного тока крови нет (полулунный клапан закрыт), то сокращение стенки облегчает перемещение крови по сосуду и способствует её продвижению дальше. Эластичность сосудистых стенок создает непрерывное течение крови в кровеносных сосудах. Импульс давления распространяется по сосудистым стенкам и называется пульсовой волной. Скорость его распространения значительно выше средней скорости течения крови.

υ_исп.=((Eh)/2pr))^1/2

где Е - модуль упругости сосудистой стенки, h - толщина стенки, г - радиус сосуда, р - плотность. С возрастом, когда начинает усиленно откладываться холестерин в стенках сосудов (атеросклероз), модуль упругости сосудистой стенки увеличивается, увеличивается и скорость пульсовой волны, это может произойти и при других патологических процессах, поэтому определение скорости пульсовой волны имеет диагностическое значение при различных заболеваниях. Метод графической регистрации пульсовой волны называется сфигмографией. Тензодатчики регистрируют пульс в двух точках, разно удаленных от сердца (сонная и лучевая артерии) и по известному расстоянию между сердцем и точками начала регистрации импульса определяют отношение пути, проходимое пульсовой волной за время t, т.е. скорость.

Моделирование. Механическая и электрическая модели кровообращения

В качестве механической модели можно рассматривать замкнутую систему из множества разветвленных горизонтальных трубок с эластичными стенками, движение жидкости в которых происходит под действием ритмически работающего поршня насоса. Под действием поршня жидкость поступает в аорту и крупные артерии. Дальше она поступает в прекапиллярные сосуды (мелкие артерии и артериолы), обменные сосуды капилляры, венулы и вены. Ниже на этом рисунке представлен график изменения давления крови в артериальной системе кровообращения. В поршневом насосе (левом желудочке) давление меняется от О до максимального значения и обратно. В аорте и артериях давление пульсирует от систолического (в момент выбрасывания ударного объема крови в аорту) до диастолического когда левый желудочек находится в состоянии покоя. Среднее давление в этих сосудах уменьшается незначительно. Подобные пульсации давления наблюдаются в мелких артериях и артериолах, постепенно затухая. При этом среднее значение давления в артериолах изменяется значительно (градиент давления наибольший). В капиллярах пульсации давления отсутствуют. Градиент давления также значителен,но меньше чем в артериолах. Причина значительного падения давления в артериолах и капиллярах в большом числе разветвлений. Дальнейшее понижение давления наблюдается в венулах и венах. Электрической моделью сердца может быть представленная на рисунке электрическая схема. Генератор электрического напряжения (ГЕН) служит аналогом мышечного источника энергии сердца. Диод (Д) — выпрямитель — аналог аортального клапана. Конденсатор (С) накапливает заряд, а затем разряжается на сопротивление R(x). Роль конденсатора играет аорта, a R(x) периферическая сосудистая система, ее гидравлическое сопротивление X, L характеризует инерционные свойства электрической цепи, что является аналогом массы ударного объема крови.