R0*≠0 и М0*≠0(R* перпенд М0*; R* парал М0*) – система сил сходится в динаме, ось которой не проходит через центр приведения (сложное движение)
25-26) Если произвольная пространственная система сил приведена к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно произвольного центра равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно этого же центра. 
M0(R)=сумма M0(Fk)
Mz(R)=сумма Mz(Fk)
28) Центр параллельных сил 
сдесь r радиус-вектор точки О1, относительно выбранного центра О, rk – радиус-вектор к-ой силы, относительно того же центра. Эта ф-ла позволяет определить положение центра параллельных сил относительно произвольно выбранной точки.
здесь Хс Yc Zc координаты центров параллельных сил
Xk Yk Zk координаты точки приложения к-ых сил
Центр тяжести:
Центр тяжести тела – точка приложения его силы тяжести. Силы тяжести элементов тела представляют собой систему сходящихся сил, линии действия которых пересекаются в центре земли, однако угла между ними настолько малы. что ими пренебрегают, поэтому эту систему можно рассматривать как систему параллельных сил и используются те же формулы.
- объём тела
центр тяжести плоской фигуры (Ак – площадь)
29 Методы нахождения центра тела:
(1) Метод симметрии. Если объемное тело имеет плоскость или ось симметрии, то центр тяжести тела расположен на этой оси в этой плоскости. Если плоское тело имеет 2 оси симметрии то центр тяжести расположен на пересечении этих осей. (2) Метод разбиения на части. Любой тело можно разбить на части для которых известны координаты центра тяжести этих частей, а также площади массы объёмы элементов известны. Если плоское тело состоит из 3-х элементов, то центр тяжести такого тела находится в пределах треугольника, ограниченного линиями соединяющими центр тяжести элементов сечении. (3)Метод ортогональных площадей. В том случае если тело имеет вырезы, полости и т.д. необходимо применять метод разбиения на части при условии, что массы площади и объёмы свободных полостей считаются отрицательными.
Центры тяжести некоторых фигур.
Прямоугольник – центр тяжести на пересечении диагоналей.
Треугольник – центр тяжести на пересечении медиан.
Дуга окружности: 
Ус = 0
Круговой сектор 
Ус = 0
Полукруг: 
Ус = 0
Круговой сегмент: Для получения координаты необходимо разбивать сечение на круговой сектор и равнобедренный треугольник и затем применить метод отрицательных площадей.
Конус, пирамида: Центр тяжести находится от основания пирамиды на расстоянии равной ¼ высоты.
Кинематика
1) Кинематика – раздел теоретической механики изучающий законы механического движения материальных точек или тел без учёта причин, вызывающих это движение. Механическое движение – изменение положения тела в пространстве с течением времени. Любое движение точки или тела рассматривается относительно какой-либо системы отсчёта. Обычно систему отсчёта связывают с землёй, считая её неподвижной. Если рассматривать движение тела относительно подвижной системы отсчёта, то при расчётах необходимо учитывать движение подвижной системы отсчёта относительно неподвижной. Траектория точки – геометрическое место последовательных положений точки в процессе её движения. Прямолинейное, если траектория-прямая, в других случаях криволинейное.
Основные задачи кинематики: - определение закона движения точки или тела в выбранной системе отсчёта. - По заданному закону определить кинематические характеристики движения.
2) Движение точки считается заданным, если существует зависимость, позволяющая определить положение точки в пространстве в произвольный момент времени, эта зависимость называется законом движения. Способы задания движения: (1) Естественный – используется. Если известна траектория движения, уравнение движения точки по этой траектории, начало отсчёта и положительное направлении движения. S=S(t) – угловая координата. (2) Векторный – положение описывается радиус-вектором проведённым из некоторой неподвижной точки. r=r(t) уравнение движения при векторном способе. Траектори в данном случае является гадографом радиус-вектора. (3) координатный – положение точки задаётся зависящими от времени дифференцируемыми функциями координат. X=x(t) y=y(t) z=z(t). y=f(x) – уравнение траектории.
3) Величина равная отношению приращения дэльта(r) вектора r к промежуточному времени дэльта(t) за который произошло это приращение называется средней скоростью точки за это время Vср.= дэльта(r)/дэльта(t). При дэльта(t) стремящимся к 0: V= dr/dt скорость точки в данный момент времени. Скорость всегда направлена по касательной к траектории движения.
4) Величина равная отношению приращения дэльта(V) вектора r к промежуточному времени дэльта(t) за который произошло это приращение называется средним ускорением точки за это время a cр.= дэльта(V)/дэльта(t). При дэльта(t) стремящимся к 0: a= dV/dt ускорение точки в данный момент времени. Ускорение всегда направлена по касательной к гадографу вектора скорости.
5) V= dr/dt = d(xi+yj+zk)/dt = Vxi + Vyj + Vzk где Vx=dx/dt, Vy=dy/dt, Vz=dz/dt – проекции вектора скорости на оси координат V=корень(Vx^2+Vy^2+Vz^2)Положени вектора Vопределяется направлением косинусов, а именно углов между направлением вектора V и положительно направленной соответствующей оси координат.
6) V= dS/dt*dr/dS сдесь dS/dt – v – алгебраическая скорость точки, а dr/ds – ŧ(тау) – вектор, направленный по направлению вектора dr. V= ŧ(тау)*v.
7) Если выбрать в качестве осей координат независимые оси ŧ(тау), n, в - которые связаны с движущейся точкой при этом ŧ(тау)-является касательной, n – нормалью, в – бинормалью, тогда ŧ(тау) и n образуют касательную плоскость, n и в нормальную плоскость, в и ŧ(тау) – спрямляющуюся плоскость, это и есть естественный трёхгранник. Нормальное ускорение точки всегда направлено к центру кривизны траектории(a норм. =V^2/q, где q – радиус кривизны траектории), а касательное по касательной к траектории, если знаки касательного ускорения и скорости совпадают, то и направления их тоже совпадают, или наоборот(а ŧ(тау)=dV/dt)
8) Касательное ускорение показывает изменение скорости по величине, нормально – по направлению. Если (а ŧ(тау)=0) и (a норм.=0) – движение равномерное и прямолинейное, если (а ŧ(тау)=0) и (a норм. не равно 0) то криволинейное и равномерное, если (а ŧ(тау)не равно 0) и (a норм.=0) то прямолинейное равномерное, если (а ŧ(тау) не равно 0) и (a норм. не равно 0) то криволинейное неравномерное. При постоянном а ŧ(тау) движение либо равноускоренное, либо равнозамедленное.
9 Поступательным называется такое движение, при котором в теле можно выделить прямую, остающуюся параллельной самой себе в процессе движения. Т-ма: Все точки тела, движущиеся поступательно имеют в данный момент геометрически равные скорости и ускорения и движутся по одинаковым траекториям. Для изучения тела, движущегося поступательно достаточно изучить движение одной его точки, обычно рассматривают центр тяжести.
10 Вращательное движение тела – такое движение твердого тела, при котором точки, принадлежащие некоторой прямой, остаются неподвижными, а остальные точки описывают окружности в плоскости перпендикулярно оси вращения. Уравнение (закон) вращательного движения: j=f(t) – угол поворота тела в радианах. Угловая ск-сть: 
, [рад/с] – определяет быстроту изменения угла поворота.
Вектор угловой скорости тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, направлен вдоль оси вращения так, что если смотреть ему навстречу вращение будет против час. стрелке. Угловое ускорение тела: 
, [рад/с2]. Вектор углового ускорения также направлен вдоль оси вращения. При ускоренном движении совпадает по направлению с угловой скоростью и противоположно при замедленном вращении. Угловую скорость и угловое ускорении можно представить в виде векторов, которые расположены на любой точке оси вращения.
11 Частные случаи вращения тела:
1) Равномерное вращение: w=const, j=wt, w=j/t,
2) Равнопеременное вращение: w=w0+et; 
, здесь начальный угол j0=0.
Скорости и ускорения точек вращающегося тела. 
– скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус–вектор этой точки. Модуль векторного произведения: v=w×r×sin(a)= w×(CM), (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения. Направлен вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка М, в сторону вращения.
12 Передаточные механизмы предназначены для передачи вращения от ведущего вала к ведомому. Они реализуются в виде различного рода передач с жёсткой или гибкой связью. Фрекционные передачи функционируют за счёт сцепления между колёсами, зубчатые передают крутящий момент за счёт зацепления между зубьями. Отношение угловой скорости ведущего вала к угловой скорости ведомого называется передаточным числом i. Иногда хар-ка вращательного движения задаётся в виде числа оборотов в минуту.
13 j,w,ε – основные кинематические характеристики вращательного движения твёрдого тела. Они одинаковы для всех точек вращательного твёрдого тела. Скорости и ускорения точек вращающегося тела. 
– скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус–вектор этой точки. Модуль векторного произведения: v=w×r×sin(a)= w×(CM), (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения. Направлен вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка М, в сторону вращения.
a=корень((a вращ.)^2+ (a центр.)^2) = (СМ)*корень(w^4+ε^2)
14 
– скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус–вектор этой точки. Модуль векторного произведения: v=w×r×sin(a)= w×(CM), (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения. Направлен вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка М, в сторону вращения.
а вращ. равняется (ε x r) где r это (СМ), а центр. равняется (w x V) из этого выразим а:
a=корень((a вращ.)^2+ (a центр.)^2) = (СМ)*корень(w^4+ε^2)
15 Плоскопараллельное движение твердого тела. Плоским (плоскопараллельным) назыв. такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости. Уравнения плоского движения: xA= xA (t), yA= yA (t), j = j (t), точка А назыв. полюсом. Плоское движение тв.тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как полюс (А),и из вращательного движения вокруг этого полюса. Поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а величина и направление угла поворота не зависят.
Вопрос 16. Определение скоростей точек плоской фигуры. Теорема о проекциях скоростей точек плоской фигуры.
Теорема: Скорость любой точки принадлежащей плоской фигуре равна геометрической сумме скорости полюса и той скорости которую имела бы точка при вращательном движении вокруг оси проходящей через полюс
Теорема: при плоском движении проекции скоростей двух точек тела на ось, проходящую через эти точки, равны между собой: vAcosa = vBcosb.
Вопрос 17. Мгновенный центр скоростей. Определение скорости с помощью МЦС. Частные случаи нахождения МЦС.
МЦС – точка плоскости движения плоской фигуры, скорость которой в данном положении равна 0.
Скорости всех точек будут направлены перпендикулярно отрезкам соединяющим точку и МЦС в сторону угловой скорости и пропорциональны длинам этих отрезков.
Частные случаи определения м.ц.с.: 1) м.ц.с. – точка пересечения перпендикуляров, восстановленных к скоростям точек (напр. в точке В и точке К); 2) если скорости точек А и В параллельны между собой и перпендикулярны АВ, то для определения м.ц.с. должны быть известны модули и направления скоростей (см. vA и vB); 3) если они при этом равны между собой, то м.ц.с. находится в ¥, а угловая скорость w=vA/¥=0; 4) если известно, что скорости двух точек А и В равны, параллельны и не перпендикулярны АВ, то м.ц.с. в ¥, и угловая скорость w=vA/¥=0, если это имеет место только к некоторый момент времени, то имеем мгновенное поступательное движение; 5) если плоская фигура катится без скольжения по неподвижной поверхности, то м.ц.с. плоской фигуры будет в точке соприкасания.
Вопрос 18. Определение ускорений точек плоской фигуры. Мгновенный центр ускорений.
Ускорение любой точки плоской фигуры равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения точки которое она имела бы при вращательном движении тела вокруг оси проходящей через полюс.
aB=aA+aBA(нормальное)+aBA(тангенциальное)=aA+aBA
aBA(нормальное)=ωAB^2*AB
aBA(тангенциальное)=έAB*AB
Существует 2 способа определения ускорений:
Метод проекций
Построение многоугольника ускорений
Мгновенный центр ускорений – точка (Q) плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Для его построения из точки А откладываем под углом 
к ускорению аА отрезок 
, при этом угол откладывается от ускорения в сторону, направления углового ускорения e. Модули ускорений точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до мгн.ц. ускорений, а векторы ускорений составляют с отрезками, соединяющими эти точки и м.ц.у. один и тот же угол 
: 
. Мгновенный центр скоростей Р и мгновенный центр ускорений Q являются различными точками плоской фигуры.
Вопрос 19. Сферическое движение твёрдого тела. Углы Эйлера. Определение ускорений точек тела при сферическом движении.
Сф.движ – движение твердого тела, одна из точек которого во все время движения остается неподвижной (напр. движение волчка).
Точки тела движутся по сферическим поверхностям. Положение тела определяют при помощи трех углов. Для этого задаются две системы координат: неподвижная Оxyz и подвижная ОxhV, связанная с твердым телом. Линия ОJ – линия узлов, задаются углы: Y – угол прецессии, q – угол нутации, j – угол собственного вращения — углы Эйлера. Таким образом уравнения сферического движения: Y=f1(t); q=f2(t); j=f3(t). Углы отсчитываются от осей против хода час.стр.
