Дифференциальное уравнение теплопроводности (уравнение энергии). Коэффициент температуропроводности

Рассмотрим элементарный V вещества в форме прямоугольного параллелепипеда в декартовой системе координат.

Количество теплоты, входящее через левую грань параллелепипеда в направлении оси Х, равно:

dQ_x΄ = q _x΄dy*dz*dτ (Дж), где q _x΄, Вт/м² – удельный тепловой поток, пронизывающий левую грань. Через правую грань в этом же направлении уходит количество теплоты, равное: dQ_x΄΄ = q _x΄΄dy*dz*dτ (Дж), где q _x΄΄ - удельный тепловой поток на правой грани. Представим q _x΄ через q _x΄΄:

Для этого используем формулу разложения в ряд Тейлора:

q _x΄΄ = q _x΄ + (∂ q _x΄ /∂х)*(dх/1!) + (∂² q _x΄ /∂х)*(dx²/2!) + …+ (∂ⁿq _x΄/∂xⁿ)*(dxⁿ/n!)

В правой части данного разложения в ряд оставляют 2 первые величины, а малые более высоких порядков отбрасывают. Количество теплоты, остающееся в параллелепипеде вследствие различия втекающего и вытекающего потоков равно: dQ_x = dQ_x΄ - dQ_x΄΄ = q _x΄dy*dz*dτ - q _x΄΄dy*dz*dτ = (q _x΄ - q _x΄΄)* dy*dz*dτ = -(dq _x/dx)*dx* dy*dz*dτ

Используя закон Фурье выразим удельный тепловой поток в виде: q _x = - λ*dt/dx и подставим эту величину в выражение: dQ_x = - (d/dx)*(- λ*dt/dx)*dV* dτ; dV = dx*dy*dz. При λ =const (линейная постановка). dQ_x = (λ*d²t/dx²)*dV*dτ. Для координат направлений у и z используем аналогичные выражения: dQ_у = (λ*d²t/dу²)*dV*dτ; dQ_z = (λ*d²t/dz²)*dV*dτ. Общее количество теплоты,поступившее в данный элементарный V: dQ = dQ_x + dQ_у + dQ_z= λ (∂²t/∂x² + ∂²t/∂y² + ∂²t/∂z²)*dV*dτ.

Считая, что вещество обладает реальной (Дж) теплоёмкостью можно выразить это же самое количество теплоты, используя значения теплоёмкости и величины нагрева: dQ = с*ρ*dV*dt =с*ρ*dV*(∂t/∂τ)*∂τ. Приравнивая теплоту из двух последних выражений получим:

λ (∂²t/∂x² + ∂²t/∂y² + ∂²t/∂z²)*dV*dτ = с*ρ*dV*(∂t/∂τ)*∂τ;

∂²t/∂x² + ∂²t/∂y² + ∂²t/∂z²=▼²;

∂t/∂τ =[ λ/ (с*ρ)] *▼² * t.

Величина λ/ (с*ρ) = а, м²/с называется коэффициентом температуропроводности. Коэффициент температуропроводности один из важнейших коэффициентов теории теплопроводности, от него зависит скорость изменения температурного поля. ∂t/∂τ = а *▼² * t.

Если внутри изучаемого тела имеются внутренние источники тепловыделения, то дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид: ∂t/∂τ = а *▼² * t + q_v/(c* ρ); q_v – плотность источников тепловыделения (объёмная) [Вт/м³]. Дифференциальное уравнение, приведённое выше, относится к неподвижной твёрдой среде, для движущейся среды это уравнение примет вид:

∂t/∂τ + W_x*∂t/∂x + W_y*∂t/∂y + W_z*∂t/∂z = а *▼² * t -конвективная составляющая дифференциального уравнения теплопроводности. W_x,W_y,W_z – проекции скорости на оси.

Дифференциальное уравнение теплопроводности является уравнением энергии, так как получено на основе закона сохранения энергии.