Сложение гармонических колебаний

Гармонические колебания можно представить с помощью вектора амплитуды А, вращаемого с циклической частотой ω (Рис.1.4). Проекция вектора А на ось х будет меняться со временем по закону (1.3).

 

 

Рис. 1.4

 

Таким образом, проекция вектора на ось х будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора А, циклической частотой, равной угловой скорости вращения, и начальной фазой, равной углу φ₀, образуемому вектором А с осью х в начальный момент времени t=0.

Рассмотрим сложение колебаний одинакового направления (с одинаковой частотой ω, но отличающиеся начальными фазами и амплитудой).

 

Рис. 1.5

 

Результирующая амплитуда (рис. 1.5) по правилу векторного сложения:

Угол φ для результирующей амплитуды определяется:

Уравнение результирующего гармонического колебания будет:

.

Если же частоты складываемых колебаний различны, то результирующее колебание не будет гармоническим.

Особый интерес представляют два гармонических колебания, незначительно отличающиеся по частоте. Тогда при сложении получается колебание с пульсирующей амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Пусть материальная точка на пружине участвует сразу в двух колебаниях вдоль осей х и y (Рис.1.6):

 

Получим уравнение результирующего колебания, исключая время из этих уравнений:

(1.18)

(1.19)

Рис. 1.6

 

Умножим первое равенство на cos φ₂, второе - на cos φ₁ и найдем их разность:

. (1.20)

 

Повторим то же самое только первое равенство, умножим на sin φ₂, второе - на sin φ₁ и найдем разность:

. (1.21)

Возводя уравнения (1.20) и (1.21) в квадрат и складывая, получим:

.

Это уравнение эллипса.

В частных случаях:

а) при φ₂ – φ₁=0 получим:

или - уравнение прямой.

б) при

- уравнение эллипса, приведенного к осям координат.

Знаки ± указывают только направление вращения материальной точки вдоль траектории – эллипсу (по часовой или против часовой стрелки).

в) при А₁=А₂ получим:

х²+у²=А²

– уравнение окружности с радиусом А.

И, наконец, если частоты ω взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектории результирующего движения представлены сложными кривыми, называемыми фигурами Лиссажу. Ниже на рисунке 1.7 приведены результаты сложения взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой амплитуды с кратными частотами, отличающимися как 1:2; 1:3; 1:4 и 3:4. Во всех случаях начальные фазы колебаний были равны нулю.

Те же отношения частот при наличии фазового сдвига в начальный момент времени дают несколько иные картины, показанные на Рис. 1.8. Таким образом, вид траекторий чувствителен не только к соотношениям частот, но и значениям фаз колебаний. Это обстоятельство используется при осциллографическом методе определения метрологических характеристик генераторов и настройке радиотехнических устройств.

Рис.1.7

Рис.1.8

 

1.6. Электрические колебательные системы, колебательный контур.

 

Колебательный контур (Рис. 1.8) – осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).

 

Рис.1.8

 

Колебательный контур – простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания.

Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения . Энергия, запасённая в конденсаторе

.

При соединении конденсатора с катушкой индуктивности, в цепи потечёт ток , что вызовет появление в катушке электродвижущей силы (ЭДС) самоиндукции, направленной на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия конденсатора . Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна

,

где – индуктивность катушки, – максимальное значение тока.

После этого начнётся перезарядка конденсатора, которая будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения .

В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре.

Согласно закону Ома для контура, представленного на рис 1.8,

,

где IR -падение напряжения на резисторе R, - напряжение на конденсаторе, - ЭДС самоиндукции при изменяющемся токе. Тогда

.

Разделив на L и подставив и , получим уравнение затухающих колебаний типа (1.14)

(1.22)

Если внешние ЭДС отключены и R мало, то - уравнение свободных гармонических колебаний типа (1.6) с собственной частотой и периодом, определяемым формулой Томсона:

При этом колебания заряда ; тока ; напряжения .

При R≠0 колебания будут затухающими, и описываются уравнением типа (1.14). Обозначая через и , получим для контура дифференциальное уравнение второго порядка:

, (1.23)

решением его будет , где частота меньше собственной .

Добротность контура при этом:

Вынужденные колебания возникают в системе под действием внешней периодически меняющейся силы. Рассмотрим это на примере электрического колебательного контура, в котором роль вынуждающей силы будет играть внешняя ЭДС периодически изменяющаяся по гармоническому закону . Тогда уравнение (1.23) запишется:

(1.24)

Можно показать, что общее решение неоднородного уравнения (1.24) позволяет для установившегося режима колебаний получить для тока в контуре:

,

где

и .

При постоянном R амплитуда тока I₀ будет максимальна при . Тогда и ω=ω₀. Наблюдается явление резонанса. Зависимости амплитуды вынужденных колебаний I₀ от частоты ω для разных значений сопротивлений показаны на Рис.1.9.

Рис. 1.9.

В расчётах приняты значения L= 100 нГн, С= 0,1мкФ, сопротивления заданы в Ом.