Примеры механических колебательных движений

Механические колебательные системы называют маятниками.

Пружинный маятник (Рис.1.2) представляет собой пружину с прикреплённой к ней массой. На шарик массой m при смещении его из положения равновесия (х=0) будет действовать сила упругости пружины F=-kx, стремящаяся вернуть его в положение равновесия.

Рис. 1.2

 

По второму закону Ньютона , где - вторая производная от х по времени. Тогда:

или . (1.7)

Обозначив приходим к дифференциальному уравнению (1.6). Это уравнение гармонических колебаний системы с собственной циклической частотой ω₀ и периодом:

.

Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси 0, не проходящий через центр масс С тела (Рис. 1.3)

 

Рис. 1.3

 

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для физического маятника:

(1.8)

Момент силы тяжести М, возвращающий маятник в положение равновесия имеет знак, противоположный знаку угла отклонения и равен:

При малых углах отклонения (угол измеряется в радианах) и тогда возвращающий момент пропорционален углу отклонения:

Подставив это значение М в (1.8), получим:

или

Принимая

(1.9)

получим уравнение колебаний физического маятника

идентичное уравнению (1.6), решение которого известно, т. е.

Таким образом, при малых отклонениях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω₀, выражаемой формулой (1.9) и периодом

(1.10)

или

, (1.11)

где

(1.12)

называется приведенной длиной физического маятника.

 

Математический маятник – точечное тело массой m, подвешенное на нерастяжимой или невесомой нити и колеблющееся под действием силы тяжести.

Так как математический маятник является частным случаем физического маятника, то период колебаний математического маятника найдем подставив в формулу (1.10) значение его момента инерции J = ml² (здесь l – длина нити). В результате получим:

(1.13)

Сравнивая формулы (1.13) и (1.11), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине L математического маятника, то их периоды одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

1.3. Энергия гармонических колебаний.

 

Найдем полную энергию колебаний Е, как сумму кинетической и потенциальной энергий, на примере пружинного маятника.

Кинетическая энергия, с учетом (1.4) и (1.5):

Потенциальная энергия

.

Полная энергия

т.е. полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды.

Полученное выражение справедливо не только для пружинного маятника, но и для любых других колеблющихся механических систем.