Механические колебательные системы называют маятниками.
Пружинный маятник (Рис.1.2) представляет собой пружину с прикреплённой к ней массой. На шарик массой m при смещении его из положения равновесия (х=0) будет действовать сила упругости пружины F=-kx, стремящаяся вернуть его в положение равновесия.
Рис. 1.2
По второму закону Ньютона 
, где 
- вторая производная от х по времени. Тогда:
или 
. (1.7)
Обозначив 
приходим к дифференциальному уравнению (1.6). Это уравнение гармонических колебаний системы с собственной циклической частотой ω0 и периодом:
.
Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси 0, не проходящий через центр масс С тела (Рис. 1.3)
Рис. 1.3
Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для физического маятника:
(1.8)
Момент силы тяжести М, возвращающий маятник в положение равновесия имеет знак, противоположный знаку угла отклонения и равен:
При малых углах отклонения 
(угол измеряется в радианах) и тогда возвращающий момент пропорционален углу отклонения:
Подставив это значение М в (1.8), получим:
или
Принимая
(1.9)
получим уравнение колебаний физического маятника
идентичное уравнению (1.6), решение которого известно, т. е.
Таким образом, при малых отклонениях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω0, выражаемой формулой (1.9) и периодом
(1.10)
или
, (1.11)
где
(1.12)
называется приведенной длиной физического маятника.
Математический маятник – точечное тело массой m, подвешенное на нерастяжимой или невесомой нити и колеблющееся под действием силы тяжести.
Так как математический маятник является частным случаем физического маятника, то период колебаний математического маятника найдем подставив в формулу (1.10) значение его момента инерции J = ml2 (здесь l – длина нити). В результате получим:
(1.13)
Сравнивая формулы (1.13) и (1.11), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине L математического маятника, то их периоды одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.
1.3. Энергия гармонических колебаний.
Найдем полную энергию колебаний Е, как сумму кинетической и потенциальной энергий, на примере пружинного маятника.
Кинетическая энергия, с учетом (1.4) и (1.5):
Потенциальная энергия
.
Полная энергия
т.е. полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды.
Полученное выражение справедливо не только для пружинного маятника, но и для любых других колеблющихся механических систем.
