1. Некоторый прибор подвержен отказам двух типов. Пусть вероятность отказа первого типа за бесконечно малое время 
равна 
, а вероятность отказа второго типа за это же время равна 
. В состоянии отказа производится ремонт, длительность которого распределена по экспоненциальному закону с параметрами 
и 
для отказов первого и второго типов соответственно. Найти вероятность того, что прибор работает в момент времени 
, если известно, что в начальный момент времени прибор был исправен. Найти финальные вероятности всех состояний системы.
Указание. Данная система описывается цепью Маркова с непрерывным временем с тремя состояниями: 0 – прибор исправен; 1 - произошел отказ первого типа и выполняется его восстановление; 2 – произошел отказ второго типа и выполняется его восстановление.
2. Имеются два трансатлантических кабеля, каждый из которых может передавать одновременно только одно телеграфное сообщение. Время исправной работы каждого из них имеет экспоненциальное распределение с параметром 
. Время ремонта, в случае поломки, распределено тоже по экспоненциальному закону с параметром 
. Найти вероятность того, что два сообщения, поступившие одновременно найдут оба кабеля исправными, при условии, что в момент 
оба кабеля были исправны. Найти финальные вероятности всех состояний системы.
3. Имеется цепь Маркова с двумя состояниями. Время пребывания в каждом из них распределено по экспоненциальному закону с параметром . 
– число переходов из одного состояния в другое за время . Найти вероятностное распределение , то есть 
, 
Указание. Записать формулу полной вероятности для 
, и переходя к пределу при 
, получить дифференциальные уравнения относительно 
.
4. Марковская цепь с двумя состояниями задана вероятностями переходов за бесконечно малое время :
, 
,
, 
.
Нарисовать граф переходов для этой цепи, записать прямую и обратную системы уравнений Колмогорова. Решить обратную систему и найти финальные вероятности предельным переходом в этом решении.
5. Данные, полученные при исследовании рынка ценных бумаг, показали, что рыночная цена одной акции акционерного общества может колебаться в пределах от 1 руб. до 10 руб. Будем интересоваться следующими состояниями, характеризующимися рыночной ценой акции: S1 – от 1 руб. до 4 руб.; S2 – от 4 руб. до 7 руб.; S3 – от 7 руб. до 9 руб.; S4 – от 9 руб. до 10 руб. Замечено, что рыночная цена акции в будущем существенно зависит от ее цены в текущий момент времени. При этом в силу случайных воздействий рынка изменение цены может произойти в любой случайный момент времени. Матрица инфинитезимальных характеристик имеет вид: 
. Составить долгосрочный прогноз рыночной цены акции и ответить на вопрос: стоит ли приобретать акции по цене 6 руб. за акцию?
6. Марковская цепь с тремя состояниями задана вероятностями переходов за бесконечно малое время :
, ,
, 
, 
,
, 
, 
Найти финальные вероятности состояний системы и среднее время перехода из одного состояния в другое.
7. Два библиотекаря выдают книги. Время обслуживания одного читателя распределено по экспоненциальному закону с параметром 
. Поток читателей образует пуассоновский поток с параметром . Состояние системы определяется числом свободных библиотекарей. Найти вероятность того, что читателю не откажут в обслуживании.
8. Система состоит из 
идентичных элементов, каждый из которых работает независимо от других, причем время безотказной работы имеет экспоненциальное распределение с параметром . Отказавший элемент ремонтируется в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметром . Состояние системы определяется числом исправных элементов. Найти инфинитезимальные параметры, отличные от нуля, для цепи Маркова, описывающую такую систему.
9. Один мастер следит за работой 
аппаратов, которые при исправной работе не требуют его вмешательства. Сбои в работе происходят в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток с параметром 
. На устранение неполадки мастер тратит случайное время , распределенное по экспоненциальному закону с параметром 
. Под состояние системы будем понимать число аппаратов ожидающих своей очереди. Найти инфинитезимальные параметры для такой системы.
10. Рассмотрите процесс чистого размножения с инфинитезимальными параметрами:
а) 
,
б) 
.
Найдите среднее число особей в произвольный момент времени, если в начальный момент
11. Задача Эрланга. Найти стационарное распределение вероятностей 
процесса гибели и размножения с параметрами 
, 
, 
, где – число состояний системы. Найти среднее время перехода 
, 
.
12. Дан пуассоновский поток с параметром . Известно, что за время наступило 
событий. Найти плотность распределения вероятностей времени наступления 
-го события (
).
Указание: Пусть 
– момент наступления -го события. Рассмотрим группу независимых событий:
Н1 – за время 
наступило 
событие;
Н2 – за время 
наступило одно событие;
Н3 – за время 
наступило 
событий.
Далее воспользоваться определением условной вероятности наступления -го события 
, при условии, что за время 
наступило 
событий.
13. Некоторый прибор выходит из строя после воздействия K возмущений. Возмущения образуют пуассоновский поток с параметром . Найти плотность распределения времени безотказной работы прибора.
14. Телефонный узел имеет 
каналов. Моменты поступления вызовов образуют пуассоновский поток с параметром . Вызовы обслуживаются, если имеется свободный канал, в противном случае они теряются. Продолжительность каждого разговора – случайная величина с экспоненциальным законом распределения с параметром . Длительности отдельных разговоров – независимые случайные величины. Под состоянием системы будем понимать число свободных каналов. Найти финальные вероятности состояний системы.
15. Система состоит из N идентичных каналов, каждый из которых работает независимо от других случайное время до отказа. Время безотказной работы распределено по экспоненциальному закону с параметром . Отказавший элемент ремонтируется, причем время ремонта распределено тоже по экспоненциальному закону с параметром . Состояние системы определяется числом элементов находящихся в ремонте. Найти финальные вероятности состояний системы.
16. Дан процесс гибели и размножения с параметрами , 
. Считая, что 
, найти распределение числа живущих индивидуумов в момент времени . Рассмотреть случаи 
, 
, 
.
Указание: воспользоваться производящей функцией 
.
17. Решить систему дифференциальных уравнений для процесса гибели и размножения с конечным числом состояний, для которого 
, 
, 
, 
Начальные условия имеют вид:
18. Частицы, вылетающие из радиоактивного вещества, образуют простейший поток с параметром . Каждая частица независимо от других с вероятностью 
регистрируется счетчиком. Определить вероятность того, что за время зарегистрировано частиц.
19. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что за время зарегистрировано частиц, если 
и после каждого момента регистрации частицы счетчик отключается на случайное время , распределенное по экспоненциальному закону с параметром .
20. По двум линиям связи в коммутационный узел поступает два независимых простейших потока сообщений с параметрами 
и 
. Найти вероятность того, что за время в узел поступит сообщений.
21. В населенном пункте ведет прием один врач-инфекционист. Известно, что за бесконечно малый отрезок времени 
каждый больной с вероятностью l передает инфекцию здоровому человеку. Предположим, что после обращения к врачу больной становится не опасен для окружающих. Время лечения будем считать экспоненциальным с параметром . Найти нестационарное распределение вероятностей числа больных. В начальный момент болен был один человек.
22. Клиенты, обращающиеся в мастерскую бытового обслуживания, образуют простейший поток с параметром . Каждый клиент обслуживается одним мастером в течение случайного времени, подчиняющегося показательному закону с параметром . В случае отсутствия свободных мастеров клиент не ждет, а отказывается от обслуживания. Определить, сколько необходимо иметь мастеров, чтобы вероятность отказа клиенту в обслуживании не превосходила 0,015, если 
.
23. Решить предыдущую задачу при условии, что число обслуживающих рабочих равно (
).
24. В электронно-вычислительной машине могут быть применены либо элементы 
, либо 
. Отказы этих элементов образуют простейший поток с параметрами 
ед./час и 
ед./час. Суммарная стоимость всех элементов равна 
, суммарная стоимость элементов равна 
(
). Неисправность элемента вызывает простой машины на случайное время ремонта, подчиняющееся показательному закону распределения со средним временем, равным двум часам. Стоимость каждого часа простоя машины равна 
. Найти математическое ожидание экономии от применения более надежных элементов за 1000 часов работы машины.
25. Для анализа изменения с течением времени размера текущего фонда компании, ведущей дела по страхованию автомобилей, важно обладать информацией о поступлении требований по выплатам в соответствии со страховыми полисами. Наблюдение показало, что число поступающих выплат за любой промежуток времени не зависит от момент времени, с которого начинается отсчет, а зависит только от его продолжительности; требования в любые два не пересекающиеся интервала времени поступают независимо; в достаточно малые промежутки поступает по одному требованию Ожидаемое число требований равно 2. Найти:
1) вероятность того, что за месяц в компанию поступит 7 требований?
2) вероятность того, что за месяц в компанию поступит не менее7 требований?
3) вероятность того, что за месяц в компанию поступит менее 7 требований?
4) вероятность того, что за месяц в компанию не поступит ни одного требования?
5) за две недели поступит хотя бы одно?
6) интервал между двумя соседними требованиями будет меньше двух дней?
7) интервал между двумя соседними требованиями будет не менее двух дней?
С какой вероятностью:
1) за ноябрь поступит в компанию 6 требований?
2) за декабрь поступит в компанию 6 требований?
3) за январь поступит в компанию не менее 5 требований?
4) за первые две недели ноября не поступит ни одного требования?
5) за вторую и третью недели декабря поступит хотя бы одно требование?
6) интервал времени межу соседними поступлениями требований будет не менее трех дней, если первое из них поступило в первый день второй недели января?
7) интервал времени межу соседними поступлениями требований будет меньше двух дней, если первое из них поступило в начале третьей недели декабря?
26. При рассмотрении деятельности страховой компании за определенный период нас будет интересовать изменении ее начального фонда, происходящее благодаря поступлению в компанию страховых взносов и выплатам компании по страховым полисам. В связи с этим рассмотрим три состояния, характеризующиеся величиной фонда, который принимаем за 100%: 1 – текущий фонд составляет не менее 200% начального фонда, 2 – текущий фонд составляет от 100% до 200% начального фонда, 3 – менее 100% начального фонда. Изучение деятельности в предыдущие периоды позволяет сделать вывод о том, что ее переходы из состояния в состояние характеризуются следующей матрицей инфинитезимальных характеристик, не зависящих от времени:
.
Обосновать, что в этой системе протекает однородный дискретный Марковский процесс с непрерывным временем, построить граф состояний, записать систему дифференциальных уравнений и найти вероятности состояний, если в момент, предшествующий рассматриваемому периоду фонд составлял 150% от начального фонда, найти финальные вероятности системы.
27. Поток поступления неисправной аппаратуры в мастерскую гарантийного ремонта является простейшим с параметром 
ед./час. Продолжительность ремонта одной единицы является случайной величиной, имеющей показательный закон распределения с параметром 
ед./час. Определить среднее время, проходящее от момента поступления неисправной аппаратуры до начала ремонта, если в мастерской четверо рабочих, каждый из которых одновременно ремонтирует только один прибор.
28. В травмотологическом пункте работают два врача. С какой наибольшей интенсивностью могут поступать больные, чтобы среднее число ожидающих в очереди не превосходило трех, если на оказание помощи больному в среднем затрачивается 9 мин.?
29. В мастерскую срочного ремонта обуви, имеющую двух мастеров, обращаются в среднем 18 клиентов в час, а среднее время обслуживания одного клиента 5 мин. Какова вероятность для клиента завершить починку обуви не более чем за полчаса?
30. На коммутатор, имеющий три внешние линии связи, поступает в среднем в час 60 требований на связь. Средняя продолжительность переговоров 3 мин. Определить: а) вероятность отказа абоненту; б) среднее число занятых линий.
Литература
1) Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. -448 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XVIII).
2) Маталыцкий М.А. Элементы теории случайных процессов: Учеб. пособие – Гродно: ГрГУ, 2004. – 326 с.
3) Миллер Б.М., Панков А.Р., Теория случайных процессов в примерах и задачах. Физматлит, 2002 г., 320 стр.
4) Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов: учебное пособие. - 2-е изд., испр. - Томск:Изд-во НТЛ, 2010.-204 с.
5) Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: Учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ. 2004. – 228 с.
Содержание
Марковские процессы. 3
Цепи Маркова с дискретным временем.. 4
Классификация состояний цепи Маркова с дискретным временем.. 7
Классификация состояний цепи Маркова по асимптотическим свойствам переходных вероятностей 12
Эргодические теоремы для цепей Маркова. 14
Вероятностно-временные характеристики цепи Маркова. 16
Задачи для самостоятельного решения: 21
Цепи Маркова с непрерывным временем.. 31
Дифференциальные уравнения Колмогорова. 32
Финальные вероятности. 37
Время перехода из одного состояния в другое. 38
Процессы гибели и размножения. 38
Простейший поток. 41
Задачи для самостоятельного решения. 49
Литература. 57
