Процессом гибели и размножения называется однородная марковская цепь с непрерывным временем и счетным множеством состояний 
, в которой за время 
из состояния 
возможен лишь непосредственный переход в состояния 
и 
, то есть для инфинитезимальных характеристик будут выполнены следующие условия:
, 
, 
,
, 
,
для остальных значений 
.
Такие процессы хорошо описывают задачи в области биологии, физики, социологии, массового обслуживания. Состояние процесса можно интерпретировать, например, как число особей некоторой популяции, переход из состояния в – как рождение новой особи, а переход из состояния в – как гибель некоторой особи.
Процессы гибели и размножения принято изображать в виде размеченного графа состояний, следующего вида
рис.5
Вершина графа обозначает состояние цепи Маркова. Ребра графа ориентированы и показывают возможные переходы из одного состояния в другое. В графе рисуют лишь те ребра, которые показывают переходы с ненулевыми инфинитезимальными характеристиками. Эти характеристики обычно пишут рядом с ребрами и называют весами ребер. Удобство такого способа описания марковских процессов заключается в его наглядности и возможности реализации простого правила построения системы дифференциальных уравнений Колмогорова.
правило: производная по времени от вероятности состояния в момент времени t равна сумме произведений вероятностей состояний на веса ребер, входящих в данное состояние (как будто вероятности втекают в данное состояние), минус произведение вероятности рассматриваемого состояния на сумму весов всех ребер, выходящих из него (как будто вероятность вытекает из рассматриваемого состояния).
Прямая и обратная системы дифференциальных уравнений для переходных вероятностей 
процессов гибели и размножения имеют вид:
,
.
Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний 
соответственно записывается в виде:
,
, 
Система уравнений Колмогорова для стационарных вероятностей 
:
,
,
.
Для решения полученной системы можно применить метод Хинчина. Обозначим 
,
тогда из системы уравнений следует, что
, 
, 
следовательно, имеет место равенство
,
откуда получаем равенство
.
Вероятность 
найдём из условия нормировки
.
Здесь возможны два случая, связанные со сходимостью ряда:
1) 
,
тогда стационарные вероятности существуют и равны
.
2) 
,
тогда не существует стационарного распределения для рассматриваемого процесса гибели и размножения.
