Вычисление определителя методом Гаусса

Вычислим определитель методом Гаусса.

Суть метода состоит в следующем: определитель приводится к треугольному виду с помощью элементарных преобразований, и тогда он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Идея метода состоит в следующем: пусть дан определитель третьего порядка

(1)

элемент должен быть равен , для этого первую строку разделим на .

Получим определитель вида (2)

Обнулим элементы, стоящие в первом столбце, кроме первого. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на , далее из третьей строки вычтем первую, умноженную на . Получим определитель вида .

Обозначим его элементы буквой с, тогда

(3)

Теперь надо обнулить элемент . Элемент должен быть равен , для этого вторую строку разделим на . Получим определитель вида .

Далее из третьей строки вычтем вторую, умноженную на .

.

Обозначим его элементы буквой t, тогда

(4)

Вот мы привели определитель к треугольному виду, теперь он равен .

Разберем теперь это на конкретном примере.

Пример 4: Вычислить определитель методом Гаусса.

Решение: Поменяем местами первую и третью строки (при замене двух столбцов (строк) определитель меняет знак на противоположный).

Получили

Из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, далее из третьей строки вычтем первую, умноженную на 3. Получили

Далее из третьей строки вычтем вторую, умноженную на 3.

Получили -