,
, 
, 
.
Дано:
.
, то есть требуется найти закон изменения тока. Это неоднородное дифференциальное уравнение. Если в правой части стоит 0, то однородное дифференциальное уравнение описывает замкнутую накоротко цепь. При этом энергия на конденсаторе и катушке быстро расходится через сопротивление 
.
Полное решение этого уравнения складывается из частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного. Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде 
(1), где 
подлежат определению.
Продифференцируем уравнение (1) по 
и запишем в виде:
. (2)
Найдём 
и 
:
; 
.
Подставим эти уравнения в (1):
.
Имеем синус и косинус разности:
.
Для любого момента времени сумма коэффициентов 
и 
, тогда имеем систему:
где в первом уравнении - коэффициенты при , во втором - . Решая данную систему, получаем:
(1), 
(2).
Анализируя данное решение видно, что ток зависит от частоты.
Зависимость тока от частоты.
1) 
.
- частота, при которой наступает резонанс (в данном случае ток максимален).
, 
.
Пусть 
. Тогда из (1) получаем 
- в этом случае знаменатель минимален и ток максимален.
Рассмотрим два крайних случая.
2) 
(малые частоты) 
т. е. с уменьшением частоты цепь начинает носить более ёмкостной характер (цепь ведёт себя как ёмкость). 
‡ 
.
3) 
То есть, ‡ (цепь ведёт себя как индуктивность).
Угол сдвига фаз.
1) 
.
2) 
.
3) 
.
Построим векторную диаграмму:
При построении мы использовали соотношение 
. Ток отстаёт от напряжения на индуктивности на 
за счёт электромагнитной индукции. На конденсаторе напряжение отстаёт от тока на .
Резонанс напряжений.
В случае резонанса 
. Ток одинаков, следовательно 
, то есть 
. При этом угол 
равен 0. Векторная диаграмма для этого случая изображена слева.
На резонансе цепь ведёт себя, как на активном сопротивлении. Ток имеет максимальное значение:
,
и 
меняются в противофазе.
Напряжения на емкости и индуктивности на резонансной частоте не достигают своих максимальных значений.
Найдем частоты, при которых напряжения на емкости и индуктивности достигают своих максимальных значений.
.
Напряжение будет максимально, когда будет минимально выражение под корнем. Следовательно:
,
, то есть 
.
Следовательно, напряжение на конденсаторе достигает максимума при частоте, меньшей частоты резонанса.
Аналогично для катушки:
, 
.
Следовательно, напряжение на индуктивности достигает максимума при частоте, большей частоты резонанса.
