Определение индуктивности катушки

 

Цель работы: познакомиться с процессами в цепи переменного тока с катушкой индуктивности, определить индуктивность катушки с железным сердечником и без сердечника.

Оборудование: исследуемая катушка, железный сердечник, трансформатор, вольтметр, амперметр.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

 

Индуктивность характеризует способность проводников с током создавать магнитное поле. Пусть по контуру течет электрический ток силы J. В пространстве контур создает магнитное поле. Силовые линии проходят через поверхность контура и замыкаются снаружи. Характеристикой магнитного поля контура является поток вектора магнитной индукции, который равен интегралу от скалярного произведения индукции по поверхности контура: Магнитный поток, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром, будет тем больше, чем больше сила тока: Ф = L J (рис. 1). Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью.

Если сила тока в контуре изменяется, то это приводит к изменению магнитного потока сквозь контур. Согласно явлению электромагнитной индукции это, в свою очередь, приводит к возникновению ЭДС. По закону Фарадея ЭДС равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего поверхность контура: .

Поскольку ЭДС индукции вызвана изменением силы тока в самом контуре, явление называется самоиндукцией. Подставив выражение для магнитного потока в закон Фарадея, получим (при постоянной индуктивности) формулу для ЭДС самоиндукции

 

. (1)

 

Знак минус отображает правило Ленца: ЭДС самоиндукции препятствует изменению силы тока в контуре.

Способность создавать магнитное поле проводником с током будет больше, если из него сделать катушку с большим числом витков. ЭДС самоиндукции в катушках, где витки следует рассматривать как соединенные последовательно контуры, будет равна сумме ЭДС в витках: . Сумму магнитных потоков через все витки называют потокосцеплением: Y = S Ф_I. Потокосцепление тоже пропорционально силе тока в катушке: Ψ = LJ

Индуктивность можно рассчитать теоретически для длинной катушки, у которой длина намного больше диаметра. Такую катушку называют соленоидом. При протекании тока силой J индукция поля равна B = mm ₀ nJ, а потокосцепление Y = B S N = mm ₀ n² VJ, где n = N / l – концентрация витков. Сопоставляя с формулой Y = LJ, получим для индуктивности соленоида L = mm ₀ n²V. Здесь V = S l – объем сердечника; m – магнитная проницаемость материала сердечника; m ₀ = 4 p ∙ 10 ^–7 Гн/м – магнитная постоянная. Как видно, индуктивность катушки зависит от её размеров, числа витков и магнитных свойств среды.

Пусть катушка индуктивностью L, не обладающая активным сопротивлением, подключена к генератору переменного тока, и через неё течет переменный ток J = J ₀cos w t. Переменный ток возбуждает ЭДС самоиндукции

. (2)

 

Катушка в цепи переменного тока, вследствие явления самоиндукции, препятствует как возрастанию, так и спаду силы тока, то есть ограничивает ток. Это эквивалентно наличию в цепи как бы дополнительного сопротивления, которое называют индуктивным R_L. Если формально применить к уравнению (2) закон Ома E = J ₀ R_L, то индуктивное сопротивление будет равно произведению индуктивности на циклическую частоту переменного тока:

 

R_L = w L. (3)

 

Реально катушка, кроме индуктивного, обладает активным сопротивлением провода обмотки. Их можно рассматривать включенными в электрическую цепь последовательно, поскольку по ним течет один и тот же ток. Падение напряжения на активном сопротивлении катушки, по закону Ома, равно алгебраической сумме напряжения генератора и ЭДС самоиндукции: J R = U_ген+Е. После подстановки формул ЭДС и напряжения, закон Ома примет вид

 

U_ген = JR - Е = J ₀ R cos wt - J ₀ wL sin wt. (4)

 

Сложение тригонометрических функций разной амплитуды и фазы, но одинаковой частоты можно произвести геометрическим методом векторных диаграмм. Направим из полюса О вдоль полярной оси напряжений вектор, длина которого равна амплитуде напряжения на активном сопротивлении J ₀ R. Вектор J ₀ w L, равный амплитуде напряжения на индуктивном сопротивлении, направим под углом 90° к оси. Пусть векторы вращаются вокруг полюса против часовой стрелки с угловой скоростью, равной циклической частоте. Тогда можно убедиться, что проекции векторов изменяются по уравнению (4) (рис. 2).

Вектор амплитуды напряжения генератора равен сумме векторов амплитуд напряжений на активном и индуктивном сопротивлениях катушки На рис. 2 он равен диагонали прямоугольника: . Сопоставляя с законом Ома U_ген = J ₀ Z, получим формулу для полного сопротивления катушки в цепи переменного тока

. (5)

 

Измерение индуктивности катушек в электротехнике производится различными методами. Метод вольтметра-амперметра заключается в измерении полного сопротивления Z катушки, включенной в сеть переменного тока, и активного сопротивления R. Тогда из формулы (5) получим

, (6)

где по закону Ома равно отношению амплитудных или эффективных напряжения и силы тока.

Измерение активного сопротивления катушки можно произвести, например, с помощью моста Уитстона постоянного тока (рис. 4). В одно из плеч моста включается исследуемая катушка. При равновесии моста, когда ток через гальванометр отсутствует, падения напряжения в соседних плечах равны: J ₁ R ₁ = J ₂ R ₂и аналогично, J ₁ R = J ₂ R₃. Поделив уравнения почленно, получим формулу для активного сопротивления: _.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

 

1. Проверить электрическую схему (рис. 3). Регулятор лабораторного автотрансформатора (ЛАТР) повернуть в положение минимального напряжения (против часовой стрелки). Вынуть из катушки стальной сердечник. Включить ЛАТР в сеть 220 В.

2. Увеличить регулятором ЛАТР напряжение так, чтобы стрелки вольтметра и амперметра были в последней трети шкалы. Измерить напряжение и силу тока. Повторить измерение не мене пяти раз, уменьшая регулятором ЛАТР напряжение. Результаты записать в табл. 1.

3. Вставить сердечник в катушку. Повторить измерения, аналогичные измерениям без сердечника. Результаты записать в такую же вторую таблицу.

Выключить ЛАТР.

4. Определить активное сопротивление катушки. Если оно не указано на катушке, то подключить катушку к мосту постоянного тока. Установить соотношение плеч моста R ₃ /R ₂=1. Набрать переключателями такое сопротивление R ₁, чтобы стрелка гальванометра была на нуле при нажатии сначала на кнопку “грубо”, затем “точно”. Определить сопротивление катушки как сумму показаний переключателей. Выключить мост.

Таблица 1

Напряжение U, В
Сила тока J, А
Сопротивление Z, Ом
Индуктивность L, Гн

5. Произвести расчеты. Определить полное сопротивление катушки Z = U/J в каждом опыте.

6. Определить индуктивность L по формуле (6) в каждом опыте. Принять w = 2 p ν = 314 1/с. Определить среднее значение индуктивности катушки без сердечника и со стальным сердечником.

7. Оценить случайную погрешность измерения по формуле

 

, (7)

где n – число измерений.

8. Сделать выводы о влиянии сердечника на индуктивность. Записать ответ в виде L = < L > ± d L, Р = …. для обоих опытов.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Дайте определение индуктивности контура, катушки. В чем заключается явление самоиндукции?

2. Выведите формулу индуктивности соленоида.

3. Объясните возникновение индуктивного сопротивления.

4. Объясните метод векторных диаграмм сложения напряжений. Выведите формулу для полного сопротивления катушки.

5. Объясните метод вольтметра-амперметра для измерения индуктивности катушки.

6. Объясните применение моста Уитстона для измерения активного сопротивления катушки. Выведите расчетную формулу.

Работа 28