Изучение вынужденных колебаний. Цель работы: изучить зависимость силы тока в электрической цепи переменного тока от частоты, познакомиться с явлением резонанса напряжений

Цель работы: изучить зависимость силы тока в электрической цепи переменного тока от частоты, познакомиться с явлением резонанса напряжений.

Оборудование: плата с электрической цепью из конденсатора, катушки индуктивности и резистора, генератор переменного тока, мультиметр.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

 

Подключение электрической цепи к генератору переменного напряжения приводит к возникновению в цепи переменного электрического тока. Это ток, который изменяется по величине и направлению. Переменный ток может рассматриваться как вынужденные колебания силы тока, заряда, напряжения в цепи под действием генератора.

Пусть электрическая цепь из соединенных последовательно катушки индуктивностью L, резистора с сопротивлением R и конденсатора емкостью C подключена к генератору переменного напряжения (рис. 1).

Пусть ЭДС генератора изменяется по гармоническому закону: , где ω – циклическая частота генератора. Чтобы определить силу тока в цепи, применим закон Ома: сумма падений напряжения на конденсаторе , резисторе JR равна алгебраической сумме ЭДС генератора и ЭДС самоиндукции катушки . Здесь J – сила тока, q – заряд конденсатора. В итоге закон Ома примет вид

 

. (1)

Перейдем в уравнении к одной переменной – к заряду, по соотношениям: . В результате получим уравнение

 

. (2)

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решением является сумма общего решения однородного уравнения (это уравнение затухающих колебаний) и частного решения неоднородного уравнения (вынужденные колебания). Известно, что затухающие колебания со временем исчезают и остаются только вынужденные колебания с частотой генератора. Так как обычно в электрической цепи измеряют силу тока, а не заряд, то частное решение уравнения (2) будем искать в виде гармонической функции силы тока:

J =J ₀cos w t. (3)

 

Подставив функции для заряда в уравнение (2) по соотношениям: ; ; , получим

 

. (4)

 

Сумма падений напряжений на элементах цепи в каждое мгновение равна мгновенному значению ЭДС генератора.

В уравнении (4) две неизвестных: амплитуда силы тока J ₀и сдвиг фаз между током и напряжением j. Для их определения воспользуемся геометрическим методом решения тригонометрических уравнений. Это метод векторных диаграмм.

Проведем из полюса векторы, длины которых равны амплитудам уравнения (4), под углом к оси напряжений, равным начальным фазам (рис. 2). Если эти векторы поворачивать с угловой скоростью, равной циклической частоте колебаний, то проекции векторов на ось напряжений будут совпадать с членами уравнения (4).

Запишем теорему Пифагора для заштрихованного треугольника . Откуда получим формулу для амплитуды силы тока

. (5)

 

Это закон Ома для цепи переменного тока. Знаменатель следует трактовать как полное электрическое сопротивление цепи Z

 

. (6)

 

Полное сопротивление имеет три составляющих. Активное сопротивление R обусловлено сопротивлением движению электронов в проводнике. Ограничение силы тока противодействием ЭДС самоиндукции эквивалентно действию некоторого индуктивного сопротивления ωL. Ограничение тока процессами перезарядки конденсатора эквивалентно действию емкостного сопротивления 1/(ωС). Сопротивления характеризуют способности превращать энергию источника тока в другие виды энергии: в тепловую на резисторе, в энергию магнитного поля катушки, в энергию электрического поля конденсатора.

Амплитуда силы тока зависит не только от ЭДС, но и от частоты. При частоте ω = 0 (постоянное напряжение) тока в цепи нет, этому препятствует конденсатор. С увеличением частоты ток начинает возрастать по мере уменьшения емкостного сопротивления. Но растет индуктивное сопротивление. Поэтому сила тока, достигнув максимума в момент равенства индуктивного и емкостного сопротивлений , спадает при высоких частотах (рис. 3).

Явление сильного возрастания амплитуды вынужденных колебаний называется резонансом. Частота резонанса равна . При резонансе падения напряжения на катушке индуктивности и на конденсаторе компенсируются.

Полное сопротивление цепи равно только активному сопротивлению R. Поэтому сила тока при резонансе может достигать огромных значений J _max = E ₀ /R. Соответственно напряжения на конденсаторе и катушке будут велики и могут во много раз превышать ЭДС генератора.

Если по уравнению (5) определить два значения частот, при которых сила тока меньше максимального значения в раз, то разность частот равна удвоенному значению коэффициента затухания: .

Экспериментальное изучение цепи переменного тока производится на лабораторной установке, состоящей из платы с электрической цепью, генератора и мультиметра для измерения напряжений на элементах цепи (рис. 4). Соединительными проводниками к катушке подключается один из резисторов и один из конденсаторов.

 

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

 

1. Подключить соединительными проводниками: генератор к клеммам «Генератор» платы, выбранные резистор и конденсатор, вход мультиметра к гнездам, например, конденсатора. Включить генератор и мультиметр в сеть 220 В.

2. Установить переключателями генератора режим синусоидального напряжения и диапазон частот 20 – 200 кГц. Регулятор напряжения поставить в среднее положение.

Установить на мультиметре режим переменного напряжения U_~, диапазон измерения 2 В. Если на индикаторе появится буква «П» (переполнение), то перейти на следующий диапазон.

3. Изменяя частоту генератора в диапазоне 20 – 100 кГц с интервалом 10 кГц, а вблизи резонанса чаще, измерить мультиметром напряжение на выбранном элементе цепи (например, на конденсаторе). Убедиться, что резкое возрастание напряжения при резонансе обнаружено. Плавно изменяя частоту вблизи резонанса, определить максимальное показание мультиметра и частоту резонанса. Результаты записать в табл. 1.

Таблица 1

Частота nген, Гц
Амплитуда А, мм

 

4. Переключить в режиме резонанса соединительные проводники мультиметра к гнездам всех элементов цепи: R, L и C. Измерить на них падения напряжения, измерить ЭДС генератора Е_ген. Результаты измерений и параметры цепи записать в табл. 2.

Таблица 2

ν, кГц	R, Ом	L, мГ	C, мкФ	UR, В	UL, В	UC, В	Eген, В

 

Убедиться, что при резонансе падения напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности почти равны и намного больше ЭДС генератора. Убедиться что падение напряжения на резисторе почти равно ЭДС генератора. То есть при резонансе сопротивление цепи равно только активному сопротивлению резистора.

Выключить приборы.

5. Построить график зависимости напряжения на конденсаторе от частоты. Размер графика не менее половины страницы. На осях координат указать равномерный масштаб. Около точек провести плавную линию.

6. Вычислить . Провести на графике линию с этой ординатой. Определить абсциссы точек пересечения с резонансной кривой. Найти по графику полуширину резонансной кривой (рис. 3).

7. Определить коэффициент затухания . Сравнить результат с теоретическим значением .

Сделать выводы.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Запишите уравнение закона Ома для цепи переменного тока из соединенных последовательно резистора, конденсатора и катушки индуктивности.

2. Выведите дифференциальное уравнение закона Ома для электрического заряда. В каком виде находится решение уравнения?

3. Объясните метод векторных диаграмм при сложении напряжений на элементах цепи переменного тока. Получите уравнение закона Ома для цепи переменного тока.

4. Объясните физический смысл сопротивлений резистора, катушки и конденсатора переменному току. Как они зависят от частоты?

5. Объясните зависимость силы тока в цепи переменного тока от частоты генератора. Дайте определение резонанса. Чем опасен резонанс?

6. Объясните способ определения коэффициента затухания по резонансной кривой.

 

 

Работа 25 а