Но . Из неравенства (5) вытекает: . Мы пришли к противоречию с неравенством (6). Теорема доказана

Определение 10.1. Дефектом треугольника АВС называется разность между развернутым углом и суммой его углов:

Из первой теоремы Лежандра следует, что

. (7)

Рассмотрим свойства этого понятия.

Свойство 10.2. Пусть дан треугольник АВС, точка М принадлежит его стороне АС. Тогда:

Свойство доказано.

Свойство 10.3. Если точка М принадлежит стороне АС треугольника АВС, то

(9)

Доказательство этого свойства непосредственно следует из неравенства (7) и равенства (8).

Свойство 10.4. Если точка М принадлежит стороне АС треугольника АВС и , то дефект треугольника АВМ также равен нулю.