Если вспомнить историческую справку, то можно сделать вывод, изучению свойств пространства Лобачевского предшествовали исследования роли и места аксиомы параллельности и утверждений ей эквивалентных в элементарной геометрии. Эти исследования, по сути, лежат в основе начал геометрии Лобачевского. На наш взгляд они крайне важны учителю математики, так как раскрывают роль и устанавливают значение аксиомы параллельности в утверждениях школьного курса геометрии. Напомним, что два утверждения называются эквивалентными, если при условии, что первое из них истинно, из него вытекает второе, и, наоборот, из истинности второго следует справедливость первого. Мы будем предполагать, что все наши исследования проводятся в трехмерном евклидовом пространстве, построенном на основании аксиоматики Гильберта. Напомним также, что утверждения, доказанные на основе первых четырех групп аксиом Гильберта, т.е. при доказательстве которых не используется аксиома параллельности, относятся к так называемой абсолютной геометрии. Ранее мы сформулировали, а также доказали ряд утверждений абсолютной геометрии, которые нам понадобятся в дальнейшем. Приведем их формулировки, сохранив при этом ту нумерацию доказанных утверждений, которую мы использовали в упомянутом параграфе.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны между собой.
Справедливы первый, второй и третий признаки равенства треугольников.
Вертикальные углы равны между собой.
Любые два прямых угла конгруэнтны между собой.
Через любую точку прямой можно провести перпендикулярную к ней прямую.
Теорема 4.1. (Теорема о внешнем угле треугольника). Внешний угол треугольника больше любого внутреннего, не смежного с ним.
Теорема 4.2. Если при пересечении двух прямых a и b третьей соответственные углы a и b равны между собой, то прямые a и b не пересекаются.
Если при пересечении двух прямых a и b третьей прямой с накрест лежащие углы равны между собой, или сумма внутренних односторонних равна развернутому углу, то прямые a и b не пересекаются.
V1. (Аксиома параллельности евклидовой геометрии). Пусть а – произвольная прямая, А – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей прямую а.
Если две прямые при пересечении с третьей образуют с одной стороны внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, то эти прямые пересекались бы при достаточном продолжении с этой стороны.
Теорема 9.1. Пятый постулат Евклида эквивалентен аксиоме параллельности евклидовой плоскости.
Доказательство. Докажем, что при условии выполнения аксиомы параллельности евклидовой геометрии справедлив пятый постулат Евклида. Предположи противное. Пусть даны две прямые a и b, которые не пересекаются и при пересечении третьей прямой c образуют с ней внутренние односторонние углы сумма которых меньше двух прямых (рис. 29):
. (1) [1]
Проведем через точку В прямую b¢, так, чтобы
(2)
(см. рис 29). Тогда в силу теоремы 4.2 прямые a и b¢ не пересекаются. Из соотношений (1) и (2) следует, что прямые b и b¢ различны. Мы пришли к противоречию с аксиомой параллельности евклидовой плоскости. Через точку В проходят две различные прямые b и b¢, которые не пересекают прямую а.
Обратно, пусть выполнено требование пятого постулата Евклида. Рассмотрим произвольную точку В и прямую а, ее не содержащую. Опустим из точки В перпендикуляр с на прямую а и восставим в этой же точке перпендикуляр b¢ к прямой с (рис 30). Из теоремы 4.2 следует, что прямые a и b¢ не пересекаются. Проведем через точку В произвольную прямую, отличную от b¢. Так как b и b¢ не совпадают друг с другом, то один из углов, который прямая b образует с прямой c, отличен от прямого угла. На рисунке 30 таким углом является 
. Таким образом 
. В силу условия пятого постулата Евклида, прямые а и b имеют общую точку. Любая прямая, проходящая через точку В и отличная от прямой b¢, пересекает прямую а. Теорема доказана
В конце 18 и начале 19 веков известный венгерский математик Фаркаш Бояи, отец одного из первооткрывателей геометрии Лобачевского Яноша Бояи (см. § 8), предпринимал безуспешные попытки доказательства пятого постулата Евклида. Он привел доказательство пятого постулата, но при следующем неявном допущении: вокруг любого треугольника на плоскости можно описать окружность. Покажем, что это утверждение равносильно аксиоме параллельности евклидовой геометрии.
Прежде всего, напомним известный факт из школьного курса геометрии: если вокруг треугольника можно описать окружности, то ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров. И, наоборот, если два серединных перпендикуляра треугольника пересекаются, то их общая точка служит центром описанной окружности этого треугольника и через нее проходит серединный перпендикуляр к третьей стороне.
Теорема 2. Утверждение: вокруг любого треугольника на плоскости можно описать окружность, равносильно аксиоме параллельности евклидовой геометрии.
Доказательство. Предположим, что на плоскости выполнена аксиома Плейфера, через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, не пересекающей данную. Тогда если прямые не пересекаются, то при пересечении третьей прямой накрест лежащие углы равны между собой. Рассмотрим треугольник АВС. Пусть М и N середины сторон АВ и АС, а m и n соответственно серединные перпендикуляры, восставленные в этих точках (рис. 79, а). Предположим, что серединные перпендикуляры m и n не пересекаются (рис 79, б). Тогда углы между прямыми АС и n и прямыми АВ и m – прямые. Прямая АС пересекает прямую m. Действительно, если предположить противное, то АС параллельна m. Тогда через точку N проходит две прямые, параллельные m, что противоречит аксиоме Плейфера. Поэтому, в силу признака параллельности прямых на евклидовой плоскости угол между m и АС прямой. С другой стороны, прямая m серединный перпендикуляр к прямой АВ. Таким образом, из точки А мы провели два перпендикуляра к прямой m, чего не может быть. Построенное противоречие опровергает наше предположение, серединные перпендикуляры m и n пересекаются. Вокруг любого треугольника на евклидовой плоскости можно описать окружность.
Обратно. Предположим, что вокруг любого треугольника на плоскости можно описать окружность. Пусть дана произвольная прямая а и точка В, которая ей не принадлежит. Опустим из точки В перпендикуляр с на прямую а. Нам достаточно доказать, что любая прямая b, проходящая через точку В и неперпендикулярная прямой с, пересекается с прямой а. Ясно, что тогда будет выполняться аксиома Плейфера. Рассмотрим такую прямую b (рис. 80). Выберем на отрезке АВ произвольную точку М. Отразим ее симметрично относительно прямых a и b. Получим соответственно точки P и N. Так как прямые а и с перпендикулярны, то точка Р принадлежит прямой с. С другой стороны, прямые с и b не перпендикулярны друг другу, поэтому точка N не лежит на прямой с. Точки P, M и N являются вершинами треугольника, а прямые a и b служат его серединными перпендикулярами. Они, в силу предположения, пересекаются в центре окружности, описанной вокруг треугольника PMN. Теорема доказана.
Теоремы Лежандра являются утверждениями абсолютной геометрии, поэтому при доказательстве всех утверждений настоящего параграфа мы не будет использовать аксиому V1 параллельности евклидовой геометрии. В основе наших утверждений будем лежать аксиомы I1 – VI2 аксиоматики Гильберта евклидовой геометрии.
При изучении свойств треугольника естественно возникает вопрос о сумме его углов. Из школьного курса геометрии известно, что на евклидовой плоскости сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Какие ограничения наложены на это число в абсолютной геометрии? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 10.1 (Первая теорема Лежандра). Сумма углов треугольника не может превышать двух прямых углов.
Доказательство. Введем следующее обозначение. Сумму углов произвольного треугольника АВС будем обозначать через s(АВС). Пусть дан произвольный треугольник АВС, тогда существует такой треугольник 
, у которого, во первых, угол А1 меньше или равен половине угла А треугольника АВС: 
, и, во вторых, 
. Рассмотрим середину М стороны АВ исходного треугольника (рис. 34). Отложим на луче АМ от точки М отрезок MD, равный АМ. Получим треугольник ABD. Отрезок СМ равен отрезку МВ, так как М середина отрезка СВ, 
по построению, 
как вертикальные, поэтому треугольники АМС и BMD равны между собой по первому признаку равенству треугольников. Отсюда следует, что 
. Следовательно,
. (1)
Мы получили, что в треугольнике ABD один из углов или меньше или равен половине треугольника АВС. Из равенства треугольников АМС и BMD также следует, что. Отсюда и из (1) вытекает, что
.
