Спектры колебаний при угловой модуляции

Колебания при угловой модуляции. Рассмотрим особенности обоих видов угловой модуляции: фазовой и частотной. Фазовая модуляция заключается в пропорциональном первичному сигналу x(t) изменении фазы φ переносчика , где а — коэффициент пропорциональности. Амплитуда колебания при фазовой модуляции не изменяется, поэтому аналитическое выражение ФМ колебания . (8.2)

Максимальное откло­нение фазы модулированного колебания от фазы немодулированного колебания M=∆φ_max=aX (8.4)

называется индексом модуляции. Индекс модуляции М пропорционален амплитуде Х модулирующего сигнала. Он в такой жестепени характеризует ФМ колебание, как коэффициент модуляции т — AM колебание. Используя (8.4), перепишем ФМ колебание (8.2) как . (8.5)

Мгновенная частота ФМ колебания . (8.6)

Таким образом, ФМ колебание в разные моменты времени имеет различные мгновенные частоты, отличающиеся от частоты несущего колебания ω₀на величину , что позволяет рассматривать ФМ колебание как модулированное по частоте. Наибольшее отклонение частоты ω от ω0 называется девиацией частоты ∆ω_д= MΩ или ∆fД =MF (8.7)

Частотная модуляция заключается в пропорциональном первичному сигналу x(t) изменении мгновенной частоты переносчика: ω=ω₀+ ax(t) (8.8), где а — коэффициент пропорциональности. Аналитическое выражение ЧМ колебания с учетом постоянства амплитуды можно записать в виде:

.

В простейшем случае модуляции гармоническим колебанием мгновенная частота , где — девиация частоты. Аналитическое выражение этого ЧМ колебания: . Слагаемое характеризует изменение фазы, получающееся при ЧМ. Это позволяет рассматривать ЧМ колебание, как ФМ колебание с индексом модуляции (8.10) и записать его аналогично (8.5): . (8.11)

ФМ и ЧМ колебания имеют много общего. Так колебание вида (8.11) может быть результатом как ФМ, так и ЧМ гармоническим первичным сигналом. Кроме того, ФМ и ЧМ характеризуются одними и теми же параметрами (индексом модуляции М и девиацией частоты ∆f_Д), связанными между собой одинаковыми соотношениями: (8.7) и (8.10).

Спектры колебаний при угловой модуляции. Для определения спектров колебаний при гармонической угловой модуляции является выражение: . (8.12)

Угловую модуляцию принято подразделять на узкополосную (М<0,5 рад) и широкополосную (M>0,5рад). Начнем с определения спектра узкополосной угловой модуляции. Полагая M << l, имеем , (8.13)

а потому

. (8.14)

Таким образом, спектр узкополосных сигналов угловой модуляции аналогичен спектру простейшего AM колебания. Он содержит компоненты несущей частоты ω₀ и двух боковых частот ω₀+Ω и ω₀−Ω. Параметром, определяющим амплитуды боковых частот, здесь является индекс модуляции М. Ширина спектра узкополосной угловой модуляции такая же, как и при AM: она равна удвоенной частоте модуляции. Несмотря на идентичность спектров, рассматриваемое колебание отличается от AM колебания, что является следствием различия в знаках (т. е. в сдвиге фаз на 180°) компонент нижней боковой частоты. Это означает возможность преобразования AM колебания в узкополосное ФМ колебание поворотом фазы одной из боковых частот на 180°.

При широкополосной угловой модуляции M >> 1 и выражения (8.13) и (8.14) несправедливы. Приходится спектр колебаний определять непосредственно из (8.12). Выражения и являются периодическими функциями частоты и, а потому они могут быть разложены в ряды Фурье. Первая из этих функций является четной, вторая—нечетной. Таким образом, спектр ЧМ и ФМ колебаний, модулированных гармоническим сигналом, оказывается дискретным, симметричным-относительно ω₀ и содержащим бесконечное число боковых частота вида ω₀±nΩ с амплитудами A_n=U₀J_n(M). Для М=4 он построен на рис. 1.10.

Соотношения между функциями Бесселя различных порядков, а, следовательно, и между амплитудами различных боковых компонент определяются индексом модуляции М. При некоторых значениях М отдельные компоненты могут исчезнуть (если J_n(M)=0). Это же относится к амплитуде несущей частоты A₀=U₀J₀(M), которая обращается в нуль при М= 2,4; 5,6...

Наличие бесконечно большого числа боковых компонент спектра означает, что теоретически спектр ФМ и ЧМ колебания является бесконечно широким. Однако функция Бесселя J_n(M), начиная с некоторых п<М, быстро убывают с ростом п, что видно на рис. 1.10. Это позволяет ограничить полезный (практический) спектр таких сигналов определенным количеством боковых частот. При ограничении спектра необходимо учитывать влияние двух противоречивых факторов: в более узкой полосе частот ослабляется влияние помех, но одновременно увеличиваются искажения сигнала из-за отсутствия опускаемых составляющих.

Отличие ширины спектра сигналов гармонической угловой модуляции от интервала частот 2∆f _д, в пределах которого происходит изменение мгновенной частоты сигнала:

1) теоретическая ширина спектра ∆f_{чм, фм} =∞;

2) практическое ее значение при М <<1 оказывается ∆f_{чм, фм} =2F>>2 ∆f _д, а при M>>1 ∆f_{чм, фм} несколько превышает 2∆f _д и лишь приближенно считается равной ей.