Энергетические спетры сигналов

Взаимным энергетическим спектром вещественных сигналов u (t) и v (t) называется функция: , такая, что скалярное произведение этих сигналов равно:

Спектральное представление энергии сигнала легко получить из обобщенной формулы Рэлея, если в ней сигналы и(t) и v(t) считать одинаковыми. Формула , выражающая спектральную плотность энергии, приобретает вид Величина Wu(ω) носит название спектральной плотности энергии сигнала и(t), или, короче, его энергетического спектра.

Корреляция, и ее частный случай для центрированных сигналов – ковариация, является методом анализа сигналов. Приведем один из вариантов использования метода. Допустим, что имеется сигнал s(t), в котором может быть (а может и не быть) некоторая последовательность x(t) конечной длины Т, временное положение которой нас интересует. Для поиска этой последовательности в скользящем по сигналу s(t) временном окне длиной Т вычисляются скалярные произведения сигналов s(t) и x(t). Тем самым мы "прикладываем" искомый сигнал x(t) к сигналу s(t), скользя по его аргументу, и по величине скалярного произведения оцениваем степень сходства сигналов в точках сравнения. Корреляционный анализ дает возможность установить в сигналах наличие определенной связи изменения значений сигналов по независимой переменной, то есть, когда большие значения одного сигнала (относительно средних значений сигнала) связаны с большими значениями другого сигнала (положительная корреляция), или, наоборот, малые значения одного сигнала связаны с большими значениями другого (отрицательная корреляция), или данные двух сигналов никак не связаны (нулевая корреляция).

АКФ. Для количественного определения степени отличия сигнала и(t) и его смещенной во времени копии u(t-τ) принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала u(t), равную скалярному произведению сигнала и копии:

(5.1)

К числу простейших свойств АКФ можно отнести ее четность:B_u(τ)=B_u(-τ). (5.2)

Важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига т модуль АКФ не превосходит энергии сигнала: (5.3) Т.е при  = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала и является максимально возможным.

АКФ представляется симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала и(t) автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер.

Связь между энергоспектром и его АКФ. Спектральная плотность смещенного во времени сигнала , имеет вид: . (5.4)

Квадрат модуля спектральной плотности, как известно, представляет собой энергетический спектр сигнала. Таким образом, энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье: (5.5)

Ясно, что имеется и обратное соотношение: . (5.6)

ВКФ. Обобщая формулу (5.1), назовем взаимокорреляционной функцией двух вещественных сигналов и(t) и v (t) скалярное произведение вида (5.7)

В отличие от автокорреляционной функции одиночного сигнала, ВКФ, описывающая свойства системы двух неодинаковых сигналов, не является четной функцией аргумента τ: .

Если рассматриваемые сигналы имеют конечные энергии, то их взаимокорреляционная функция ограничена. Это утверждение следует из неравенства Коши — Буняковского: ,

откуда , (5.10)

так как сдвиг сигнала во времени не влияет на значение его нормы.

Следует обратить внимание на то, что при τ=0 значения ВКФ вовсе не обязаны достигать максимума.

Связь ВКФ с взаимной спектральной плотностью. Выразим ВКФ двух сигналов через их спектральные характеристики. На основании обобщенной формулы Рэлея и, поскольку спектр смещенного во времени сигнала , то Имея в виду, что величина есть взаимный энергетический спектр сигналов и (t) и v (t), определенный в бесконечном интервале частот -∞<ω<∞, приходим к выводу: взаимокорреляционная функция и взаимный энергетический спектр двух сигналов связаны парой преобразований Фурье.