Математические модели сообщений и сигналов. Спектральные представления сигналов. Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье. Примеры ортонормированных базисов

Спектральное представление сигналов. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр. Спектр сигнала — это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы.

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал s(t) со следующим свойством:,

s (t) = s (t ± пТ), п = 1, 2,... (3.8).

Здесь T-период сигнала.

Зададим на отрезке времени [-T/2, T/2] ортонормированный базис.

Любая функция um из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (3.8). Поэтому, выполнив ортогональное разложение сигнала s (t) в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты C_m=(s,u_m), получим спектральное разложение

, (3.9) справедливое на всей бесконечности оси времени. Ряд вида (3.9) называется рядом Фурье.

Двасигнала и и v называются ортогональными, если их ска­лярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю: (u,v)= . (3.1)

Пусть H— гильбертово пространство сигналов с конеч­ным к значением энергии (линейное пространство со скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все пре­дельные точки любых сходящихся последовательностей век­торов из этого пространства). Эти сигналы определены на отрезке времени [t₁, t₂], конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функ­ций {u₀,u₁,….,u_n,…}, ортогональных друг другу и обла­дающих единичными нормами:(ui,uj) = 1, если i=j (3.2)

0, если i j

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Разложим произвольный сигнал s(t) H в ряд:

s(t)= (3.3) Представление (3.3) называется обобщенным рядом Фурье сигнала s(t) в выбранном базисе. Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмем базисную функцию и_k произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства (3.3) и затем про­интегрируем результаты по времени:

(3.4)

Ввиду ортонормированности базиса в правой части равен­ства (3.4) останется только член суммы с номером i = k, поэтому (3.5)

Ортонормированная система гармонических функций. На отрезке [0,Т] система тригонометрических функций с крат­ными частотами, дополненная постоянным сигналом образует ортонормированный базис (3.6)