Спектральная плотн. Неинтегрируемых сигналов. Об форм релея

Математические модели многих сигналов, широко применяемых в радиотехнике, не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, поэтому метод преобразований Фурье в обычном виде к ним неприменим. Однако можно говорить о спектральных плотностях таких сигналов, если допустить, что эти плотности описываются обобщенными функциями.

Пусть два сигнала и(t) и v(t), в общем случае комплексно-значные, определены своими обратными преобразованиямиФурье.

Найдем скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например v(t), через его спектральную плотность:

Полученное соотношение представляет собой обобщенную формулу Рэлея. Легко запоминающаяся трактовка этой формулы такова: скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей. Если сигналы тождественно совпадают, то скалярное произведение становится равным энергии

.

Назовем взаимным энергетическим спектром вещественных сигналов u (t) и v (t) функцию

,

такую, что

Спектральное представление энергии сигнала легко получить из обобщенной формулы Рэлея, если в ней сигналы и(t) и v(t) считать одинаковыми. Формула (4.8), выражающая спектральную плотность энергии, приобретает вид

. (4.11)

Величина W_u(ω) носит название спектральной плотности энергии сигнала и(t), или, короче, его энергетического спектра. Формула (3.2) при этом запишется так: .

Соотношение (4.12) известно как формула Рэлея (в узком смысле), которая констатирует следующее: энергия любого сигнала есть результат суммирования вкладов от различных интервалов частотной оси.