Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


«амечание




а) || ||

б)

ѕусть известны нормаль к плоскости и направл€ющий вектор пр€мой , тогда

а) || , (37)

б) || (38)

в) (39)

 

√лава III. Ёлементы математического анализа

І 1.  ванторы

 

Ц Ђдл€ любого ї Ц квантор всеобщности,

Ц Ђсуществует такое, что Еї Ц квантор существовани€,

Ц Ђсуществует только одно такое, что Еї Ц квантор существовани€ и единственности.

 

І 2. ќпределение функций

ќпределение. ≈сли каждому числу поставлено в соответствие по некоторому правилу вполне определенное действительное число , то говор€т, что на множестве определена числова€ функци€ , т.е. .

ћножество называют областью определени€ функции и обозначают .

ќпределение. ≈сли каждой паре значений двух независимых друг от друга величин и из некоторой области соответствует определенное значение величины , то говор€т, что есть функци€ двух независимых переменных и , определенна€ в области , т.е.

ќбласть при этом называетс€ областью определени€ функции .

ѕри нахождении области определени€ функции двух переменных следует учитывать свойства элементарных функций.

  ‘ункци€ ќбласть определени€
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
       

 

 

І 3. ѕредел функции , непрерывность, точки разрыва

 

–ассмотрим

Ц ЂїЦокрестность точки ,

Ц выколотую ЂїЦ окрестность точки .

ќпределение (по  оши): „исло называетс€ пределом функции в точке (или при ), если дл€ любого существует такое число , что дл€ всех , удовлетвор€ющих условию выполн€етс€ неравенство: .

.

Ц ѕервый замечательный предел

(40)

Ц ¬торой замечательный предел

 

“аблица эквивалентностей при

, , , , , , ,

  неопределенност€м относ€тс€ выражени€ вида , , , , и др.

1. . „тобы раскрыть неопределенность этого вида необходимо в числителе и знаменателе дроби выделить сомножитель, обращающий их в ноль и сократить на него дробь. —пособы выделени€ сомножител€ завис€т от вида функции, например,

а)

 

б)

ћожно также пользоватьс€ таблицей эквивалентностей.

в)

2. . „тобы раскрыть неопределенность вида можно пользоватьс€ эквивалентными бесконечно большими, например,

3. Ќеопределенности вида и свод€тс€ предварительно к неопределенност€м вида или , например,

а)

б)

4. Ќеопределенность вида раскрываетс€ с помощью второго замечательного предела. Ќапример,

.

ќпределение. ‘ункцию называют непрерывной в точке , если выполн€ютс€ следующие три услови€:

1) определена в точке , то есть

2) существует ,

3)

 

1. ≈сли в точке существуют конечные односторонние пределы и или , то точку называют точкой разрыва I рода, устранимого.

2. ≈сли в точке существуют конечные односторонние пределы и , то точку называют точкой разрыва I-го рода, неустранимого.

3. ≈сли хот€ бы один из односторонних пределов равен или , то точку называют точкой разрыва II рода.

ѕример:

¬ точке функци€ не определена, следовательно, Ц точка разрыва.

,

—ледовательно, точка разрыва II рода.

 

І 4. ѕроизводна€ функции одной переменной

 

ќпределение. ѕроизводной функции в точке называют предел отношени€ приращени€ функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремитс€ к 0 (при условии, что этот предел существует)

√еометрически производна€ определ€ет угловой коэффициент касательной к графику в точке .

”равнение касательной к кривой:

, (41)

уравнение нормали к кривой:

, если (42)

‘изический смысл: характеризует мгновенную скорость изменени€ функции при .

“аблица производных

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

 

 

ѕравила дифференцировани€

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

(43)

9.

(44)

ѕравило Ћопитал€

“еорема (Ћопитал€). ≈сли функции и :

1) дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки ,

2) при одновременно €вл€ютс€ бесконечно малыми или бесконечно большими,

3) в этой окрестности,

4) существует предел отношени€ производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

(45)

 

І 5. ѕлан полного исследовани€ функции:

I. ќбласть определени€ и область непрерывности:

1) если есть точки разрыва, установить их характер, найд€ пределы слева и справа;

2) вы€снить, не €вл€етс€ ли функци€ четной (график симметричен относительно ) или нечетной (график симметричен относительно начала координат), периодической;

3) точки пересечени€ с ос€ми координат.

II. јсимптоты.

ѕр€ма€ называетс€ асимптотой кривой, если рассто€ние от переменной точки кривой до этой пр€мой при удалении точки в бесконечность стремитс€ к 0 (“очка удал€етс€ в бесконечность, если ее рассто€ние от начала координат неограниченно увеличиваетс€).

ѕр€мую называют вертикальной асимптотой графика функции , если хот€ бы одно из предельных значений или равно или .

ѕр€мую называют наклонной асимптотой графика функции при , если функцию можно представить в виде:

где при

¬ этом случае

, (46)

¬ частности, если функци€ стремитс€ к конечному пределу при : , то, очевидно, и лини€ имеет горизонтальную асимптоту, параллельную оси , именно .

III. “очки экстремума, интервалы возрастани€ и убывани€.

“еорема (ƒостаточный признак монотонности)

≈сли на некотором промежутке имеет производную дл€ , то на функци€ возрастает (убывает ).

“еорема (Ќеобходимое условие экстремума)

≈сли дифференцируема в точке и имеет в этой точке экстремум, то .

‘ункци€ может иметь экстремум среди точек, в которых:

1) ,

2) ,

3) Ц не существует, где .

“очки всех этих типов Ц критические точки функции.

“еорема (ƒостаточное условие экстремума)

ѕусть дифференцируема в (кроме, быть может, самой точки ). ≈сли Ц критическа€ точка и производна€ при переходе через точку мен€ет знак, то функци€ имеет в данной точке экстремум:

максимум, если знак производной мен€етс€ с Ђ+ї на ЂЦї,

минимум, если знак производной мен€етс€ с ЂЦї на Ђ+ї.

IV. “очки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости.

ќпределение.  ривую называют вогнутой в точке , если существует така€ окрестность точки , в которой крива€ расположена над касательной, проведенной к ней в точке (рис. 5).

 

ќпределение.  ривую называют выпуклой в точке , если существует така€ окрестность точки , в которой крива€ расположена под касательной, проведенной к ней в точке (рис. 6).

 
 

 


“еорема (ƒостаточное условие выпуклости (вогнутости))

≈сли во всех точках : , то крива€ на этом интервале выпукла (вогнута).

ќпределение. “очку, отдел€ющую выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называют точкой перегиба кривой.

“еорема (ƒостаточное условие перегиба)

≈сли или не существует и при переходе через мен€ет знак, то точка кривой с абсциссой будет точкой перегиба.

V. ѕостроение графика.

 

І 6. „астные производные функции нескольких переменных.

ѕроизводна€ сложной функции нескольких переменных

 

ќпределение. „астной производной функции по переменной в точке называетс€ предел отношени€ частного приращени€ функции по к приращению по при неограниченном убывании последнего к нулю:

ƒругое обозначение: .

“аким образом, частна€ производна€ функции по переменной вычисл€етс€ в предположении, что значение посто€нно.

јналогично:

ƒругое обозначение: .

„астна€ производна€ функции по переменной вычисл€етс€ в предположении, что значение посто€нно.

„астные производные функции сами €вл€ютс€ функци€ми этих же переменных и могут иметь производные, которые называютс€ частными производными второго пор€дка.

ѕусть дана функци€ , где ; .

“огда ,

. (см. рис. 7)

 
 

 

 


≈сли , а , , то

(см. рис. 8)

 
 

 


І 7. Ќаибольшее и наименьшее значени€ функции

 

Ќаибольшее или наименьшее из всех значений нельз€ смешивать с максимумом или минимумом функции, которые €вл€ютс€ наибольшим или наименьшим значением функции только по сравнению с ее значени€ми в соседних точках.

‘ункци€ , непрерывна€ в некоторой ограниченной замкнутой области , об€зательно имеет в этой области наибольшее и наименьшее значени€. Ёти значени€ достигаютс€ ею или в точках экстремума, лежащих внутри области , или в точках, лежащих на границе области.

„тобы найти наибольшее или наименьшее значени€ функции в ограниченной замкнутой области , где она непрерывна, можно руководствоватьс€ следующим правилом:

1. Ќайти критические точки, лежащие внутри области и вычислить значени€ функции в этих точках.

2. Ќайти наибольшее или наименьшее значени€ функции на границе области .

3. —равнить полученные значени€ функции: самое большее из них и будет наибольшим, самое меньшее Ц наименьшим значением функции в области .


І 8. Ќеопределенный интеграл

 

ќпределение. ‘ункци€ называетс€ первообразной функции на множестве , если дл€ любого выполн€етс€ равенство .

ќпределение. ћножество всех первообразных функций дл€ называетс€ неопределенным интегралом от функции и обозначаетс€ символом .

“.е.

 

“аблица интегралов

  1. .
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. ,
  10. ,
  11. ,
  12. ,
  13. ,
  14. .

 

ћетод замены переменной

 

ћетод замены переменной состоит в том, что в интеграл , нахождение которого затруднительно, ввод€т новую переменную , св€занную с переменной соотношением

,

где Ц непрерывна€ монотонна€ функци€, имеюща€ непрерывную производную на некотором интервале изменени€ .

“аким образом,

ѕосле того, как интеграл найден, возвращаютс€ к первоначальной переменной с помощью подстановки .

ѕример:

.

 

ћетод интегрировани€ по част€м

 

»нтегрировани€ по част€м основано на применении формулы

(47)

—лучаи применени€ формулы по част€м.

I. ; ; ; .

II. ; ; ; ; .

 

«а , ,

,

,

,

.

III. , .

ѕримен€етс€ двукратное интегрирование по част€м.

ѕример:

.

»нтегрирование рациональных функций

 

Ќайдем интегралы от простейших рациональных дробей:

1. .

2. .

3. ,

где , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

.

ѕример:

 

»нтегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

 

1. »нтегралы вида: .

а) ≈сли и нечетное, то подстановка приводит к интегралу от рациональной функции.

≈сли и нечетное, то к тому же приводит подстановка .

б) ≈сли оба показател€ и положительные и четные, то примен€ютс€ формулы:

(48)

в) ≈сли оба показател€ и отрицательные и сумма их четна€, то подстановка приводит к интегралу от рациональной функции.

ѕри этом , , .

2. »нтегралы вида:

путем подстановки сводитс€ к интегралу от рациональной функции, при этом .

3. »нтегралы вида:‘ормулы:

: ,

: ,

: ,

ѕримеры:

1.

.

2.

.

3.

.

 

І 9. ќпределенный интеграл

 

≈сли на , то определенный интеграл представл€ет собой площадь криволинейной трапеции Ц фигуры, ограниченной лини€ми (рис. 9).

 

 

‘ормула Ќьютона-Ћейбница:

,

где Ц первообразна€ дл€ .

»нтегрирование по част€м:

, (49)

где Ц дифференцируемые функции на .

«амена переменной:

,

где Ц функци€ непрерывна€ вместе со своей производной на отрезке Ц функци€ непрерывна€ на .

≈сли Ц нечетна€ функци€, то .

≈сли Ц четна€ функци€, то .

 

І 10. ѕриложени€ определенных интегралов

 

1) ѕлощадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , пр€мыми и осью вычисл€етс€ по формуле

2) ѕлощадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций

и пр€мыми

вычисл€етс€ по формуле:

(рис. 10) (50)

 

 
 

 

 


3) ¬ пол€рных координатах площадь криволинейного сектора , ограниченного кривой и лучами вычисл€етс€ по формуле:

(рис. 11) (51)

 
 

 


4) ≈сли тело образовано вращением вокруг оси криволинейной трапеции, то его объем

(52)

5) ѕри вращении вокруг оси криволинейной трапеции, образуетс€ тело вращени€, объем которого

(52')

6) ≈сли плоска€ крива€ задана уравнением , то длина ее дуги от точки до точки вычисл€етс€ по формуле:

(53)

≈сли задана параметрически:

, где , то длина ее дуги вычисл€етс€ по формуле:

(54)

≈сли задана в пол€рных координатах уравнением , то длина ее дуги определ€етс€ по формуле:

(55)

7) –абота переменной силы , где Ц непрерывна€ функци€ на , действующей в направлении оси на отрезке вычисл€етс€ по формуле:

8) ≈сли материальна€ точка движетс€ пр€молинейно со скоростью , то пройденный ею за промежуток времени от до путь .

 

 

√лава IV. ѕример решени€ варианта контрольной работы

 

«адача є 1. ¬ычислить определители :

.

–ешение: ѕо правилу вычислени€ определител€ 2-го пор€дка:

ѕо правилу треугольников:

ќтвет: .

 

«адача є 2. –ешить систему двум€ способами

а) методом √аусса;

б) по формулам  рамера, где Ц матрица из задачи є1,

–ешение:

»меем:

а) ѕереставим местами два первых уравнени€

—оставим расширенную матрицу системы

ѕервую строку умножим на ЂЦ2ї и сложим со второй строкой.

ѕервую строку умножим на ЂЦ6ї и сложим с третьей строкой.

ѕолучаем матрицу:

.

ѕереставим местами II и III уравнени€:

. –азделим II-ю строку на 17:

.

”множим II-ю строку на ЂЦ6ї и сложим ее с III строкой:

.

Ётой матрице соответствует система уравнений:

б) по формулам  рамера:

.

 

“огда: .

ќтвет: .

 

«адача є 3. ¬ычислить величину момента силы , приложенной к точке относительно точки , если .

.

–ешение:

ћомент силы равен векторному произведению вектора на вектор , т.е. по формуле (8) имеем:

“ак как

имеем

ќтвет: .

 

«адача є 4. ƒаны координаты вершин пирамиды .

Ќайти: а) площадь грани

б) объем пирамиды.

–ешение:

а) ¬оспользуемс€ формулой (10):

“огда площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е.

б) ¬оспользуемс€ формулой (11):

.

ќтвет: , .

«адача є 5. ƒано уравнение пр€мой. «аписать его в следующих видах:

1. ”равнение в отрезках.

2. ”равнение с угловым коэффициентом.

ѕостроить пр€мую в системе координат.

.

–ешение:

1. ѕо формуле (14):

2. ѕо формуле (13):

»меем , т.е.

ѕостроим пр€мую или

 

 


ќтвет: 1.

2.

«адача є 6. ƒаны координаты вершин треугольника . Ќайти:

1.

y
”равнение стороны .

2.

1
A
ƒлину стороны .

3.

-3
-7




ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1251 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬ моем словаре нет слова Ђневозможної. © Ќаполеон Ѕонапарт
==> читать все изречени€...

326 - | 307 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.337 с.