При малом числе наблюдений

На практике в большинстве случаев число измерений не превышает 15 – 20 отдельных наблюдений. Для оценки точности результата измерения при малом числе наблюдений (n ≤ 20) и условии, что распределение погрешностей отдельных измерений следуют, нормальному закону пользуются t_p - таблицей основанной на распределении Стьюдента.

Распределение Стьюдента учитывает то, что при малом числе наблюдений и при одинаковой доверительной вероятности получается уменьшенное значение средней квадратической погрешности по сравнению с погрешностью при n наблюдениях.

При практическом применении распределения Стьюдента погрешность среднего арифметического значения (результаты измерения) при n ≤ 20 и заданной доверительной вероятности Р_д определяется из значений или по выражению:

(1.43)

Таблица 1.2 – Значения t_p и в зависимости от доверительной вероятности Р_д и k = n-1

Р_д 0,683 0,9 0.95 0,997

к t_p t_p t_p t_p

… … … ∞ … 1,05 1,05 1,05 … 1,03 … 1,00 … 0,32 0,30 0,29 … 0.23 … 0,07 0,00 … 1,81 1,80 1,78 … 1,72 … 1,65 1,64 … 0,55 0,52 0,49 … 0,38 … 0,12 0,00 … 2,23 2,20 2,18 … 2,09 … 1,97 1,96 … 0,67 0,65 0,60 … 0,47 … 0,14 0,00 … 3,90 3,80 3,80 … 3,40 … 3,04 3,00 … 1,18 1,10 1,05 … 0,76 … 0,22 0,00

Для оценки среднеарифметического значения , принимаемого как окончательный результат измерения, указываются доверительные границы и доверительный интервал при выбранной доверительной вероятности. Доверительные границы , нижняя , верхняя . Доверительный интервал

где определяется по формуле (1.43) и выражается в единицах определяемой величины.

Пример: Произведено 12 измерений ТЭДС термоэлектрическим преобразованием градуировки (с НСХ – номинальная статическая характеристика) ПП (платинородий – платина). Условия измерения: температура рабочего спая равна 419,58 ⁰С, а свободных концов 0 ⁰С. Результаты измерений не содержат систематической погрешности. Базовые значения результатов измерений, случайные погрешности результатов наблюдений и их квадраты приведены в табл. 4.3.

Определить действительное значение ТЭДС и температуры, доверительные границы и интервал при доверительной вероятности 0,95.

Таблица 1.3 – Данные измерения ТЭДС при t = 419,58 ⁰С и t_o = 0 ⁰С,

случайные погрешности результатов наблюдений и их квадраты

i ТЭДС, мкВ x_i Случайные погрешности и их квадраты

3436,8 +0,4 0,16

3435,8 –0,6 0,36

3437,0 +0,6 0,36

3436,1 –0,3 0,09

3436,7 +0,3 0,09

3437,2 +0,8 0,64

3436,0 –0,4 0,16

3436,1 –0,3 0,09

3436,7 +0,3 0,09

3436,7 +0,3 0,09

3435,8 –0,8 0,64

3436,1 –0,3 0,09

3436,4 2,86

Определим среднее арифметическое значение ТЭДС

.

Средние квадратические отклонения результатов наблюдения и измерения:

Истинное значение ТЭДС Х можно приближенно положить равным среднеарифметическому значению ТЭДС

Для оценки достоверности этого равенства задана доверительная вероятность Р = 0,95. Найдем доверительные границы, соответствующие этой вероятности. По таблице 1.2 для Р = 0,95 и k = n – 1 = 11 находим t_p = 2,2.

Согласно выражению (1.43) получим:

В соответствии с вероятностью 0,95 мы можем утверждать, что истинное значение ТЭДС заключено между доверительными границами:

или

т.е. результат измерения с вероятностью 95% попадёт в эти границы.