Надежность в период постепенных отказов. Для постепенных отказов нужны законы распределения времени безотказной работы, которые дают вначале низкую плотность распределения

Для постепенных отказов нужны законы распределения времени безотказной работы, которые дают вначале низкую плотность распределения, затем максимум и далее падение, связанное с уменьшением числа не работоспособных элементов. Постепенные отказы в литературе часто называют износовыми, причем износ понимается в расширенном смысле.

В связи с многообразием причин и условий возникновения отказов в этот период для описания надежности применяют несколько законов распределений. Вид закона устанавливают путем аппроксимации результатов испытаний или наблюдений за машиной при ее эксплуатации.

Нормальное распределение является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым для практических расчетов

Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие примерно равнозначные факторы.

Плотность распределения

.

Распределение имеет два независимых параметра: математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение . Значения параметров и оценивают по результатам испытаний по формулам

, ,

где и – оценки математического ожидания и среднего квадратичного отклонения. Иногда удобнее оперировать с дисперсией . Математическое ожидание определяет на графике положение петли, а среднее квадратичное отклонение – ширину петли (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 - Функция плотности вероятности (а) и интегральная

функция вероятности нормального распределения (б)

Кривая плотности распределения тем острее и выше, чем меньше . Она начинается от и распространяется до .

Это не является существенным недостатком, особенно если так как площадь, очерченная уходящими в бесконечность ветвями кривой плотности, выражающая соответствующую вероятность отказов, очень мала. Так, вероятность отказа за период времени от 0 до составляет всего 0,135% и обычно не учитывается в расчетах. Вероятность отказа от 0 до равна 2,175%. Наибольшая ордината кривой плотности распределения равна 0,399/S.

Интегральная функция распределения

.

Вероятность отказа и вероятность безотказной работы соответственно .

Вычисление интегралов заменяют использованием таблиц. Таблицы для нормального распределения в функции и были бы громоздкими, так как имели бы два независимых параметра. Можно обойтись небольшими таблицами для нормального распределения, у которого = 0 и =1. Для этого распределения функция плотности

имеет одну переменную . Величина является центрированной, так как 0, и нормированной, так как 1. Функция плотности распределения записывается в относительных координатах с началом на оси симметрии петли. Функция распределения – интеграл от плотности распределения

.

Для использования таблиц следует применять подстановку

,

при этом называется квантилю нормированного нормального распределения и обычно обозначается .

Плотность распределения и вероятность безотказной работы соответственно

, и ,

В литературе по надежности часто вместо интегральной функции распределения пользуются функцией Лапласа:

.

Очевидно, что

.

Вероятность отказа и вероятность безотказной работы, выраженные через функции Лапласа, отличающиеся пределами интегрирования, имеют вид:

; .

Сравнивая изделия с одинаковой средней наработкой до отказа и разным средним квадратичным отклонением , нужно подчеркнуть, что чем меньше , тем много лучше изделия.

Помимо задачи оценки вероятности безотказной работы за данное время или за данную наработку встречается обратная задача – определение времени или наработки, соответствующей заданной вероятности безотказной работы. Значения этой наработки (времени) определяют с помощью квантилей нормированного нормального распределения .

Значения квантилей даются в таблицах в зависимости от требуемой вероятности, в частности от вероятности безотказной работы.

Операции с нормальным распределением проще, чем с другими, поэтому им часто заменяют другие распределения. При малых коэффициентах вариации нормальное распределение хорошо заменяет биномиальное и логарифмически нормальное.

В логарифмически нормальном распределении логарифм случайной величины распределяется по нормальному закону. Как распределение положительных величин, оно несколько точнее, чем нормальное, описывает наработку до отказа деталей, в частности, по усталости.

Его успешно применяют для описания наработки подшипников качения, электронных ламп и других изделий.

Логарифмически нормальное распределение удобно для случайных величин, представляющих собой произведение значительного числа случайных исходных величин. Подобно тому, как нормальное распределение удобно для суммы случайных величин. Плотность распределения описывается зависимостью

,

где и – параметры, оцениваемые по результатам испытаний, Так, при испытаниях изделий до отказа

, ,

где и – оценка параметров , и .

Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального распределения в зависимости от значения квантили

.

Математическое ожидание наработки до отказа

;

среднее квадратичное отклонение

;

коэффициент вариации

.

При 0,3 полагают , при этом ошибка <1%.

Распределение Вейбулла довольно универсально, охватывает путем варьирования параметров широкий диапазон случаев изменения вероятностей.

Наряду с логарифмически нормальным распределением оно удовлетворительно описывает наработку деталей по усталостным разрушениям, наработку до отказа подшипников, электронных ламп.

Используется для оценки надежности деталей и узлов машин, в частности, автомобилей, подъемно-транспортных и других машин. Применяется также для оценки надежности по приработочным отказам.

Распределение характеризуется следующей функцией вероятности безотказной работы:

.

Интенсивность отказов

;

плотность распределения

.

Распределение Вейбулла имеет также два параметра: параметр формы 0 и параметр масштаба 0.

Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение соответственно ; , где и – коэффициенты определяются по таблице.

Возможности и универсальность распределения Вейбулла видны из следующих пояснений.

При 1 функции и от наработки до отказа убывающие.

При 1 распределение превращается в экспоненциальное распределение и – убывающая функция.

При 1 функция – одновершинная функция, а непрерывно возрастающая при 1 2 с выпуклостью вверх, а при 2 – с выпуклостью вниз.

При 2 функция является линейной, и распределение Вейбулла превращается в так называемое распределение Рэлея.

При 3,3 распределение Вейбулла близко к нормальному распределению.