Рассмотрим вопрос об аппроксимации функции многих переменных, значения которой заданы в табличной форме, ортогональными полиномами методом наименьших квадратов [11].
Предположим, что в результате наблюдений получена таблица значений функции от n аргументов в N точках с некоторой погрешностью
(7.15)
где 
и пусть число точек N достаточно велико.
Найдем полином k -й степени 
от n переменных, минимизирующее выражение
(7.16)
где 
- весовая функция.
Употребляя обозначения Гаусса (вместо символа 
для обозначения суммирования по числу N точек следует писать квадратные скобки, а индексы опускать), выражение (7.16)запишем следующим образом:
(7.17)
Функцию ищем в виде
(7.18)
где 
- ортогональный полином i -й степени.
Запишем условие ортогональности
(7.19)
Из условий (7.19)следует, что
при 
(7.20)
Подставляя (7.18) в (7.20), учитывая условие ортогональности 
, найдем коэффициент а.
(7.21)
Обратимся к построению ортогональных полиномов. Положим 
, а 
распишем для общего случая
(7.22)
Пронумеруем коэффициенты 
и 
. Для этого представим индексы 
как числа в (k+1) -ой системе счисления, расположим их в возрастающем порядке и пересчитаем. Всего коэффициентов будет 
(в дальнейшем будем их обозначать через 
где 
), а коэффициентов будет 
(в дальнейшем будем их обозначать 
, где 
).
Также поступим с произведениями
(7.23)
где 
индекс соответствующих коэффициентов 
.
Перепишем (7.22) в новых обозначениях:
(7.24)
Из условия ортогональности имеем уравнений для определения неизвестных коэффициентов и .
, (7.25)
где , или в развернутом виде
.
В дальнейшем под символом 
будем понимать матрицу, составленную из элементов 
, в которой m- й столбец заменен элементами 
.
При введенных обозначениях из системы (7.25) получаем коэффициенты 
в следующем виде:
(7.26)
ортогональный многочлен - в виде
(7.27)
где
(7.28)
Найдем коэффициенты 
, для чего подставим (7.27) в (7.25)
(7.29)
где
(7.30)
Дифференцируя F по и приравнивая производные нулю, получим нормальную систему линейных уравнений
(7.31)
где откуда
(7.32)
Таким образом, ортогональные полиномы и аппроксимирующий многочлен определяются из формул (7.18), (7.27), (7.28), (7.30), (7.32).
