Аппроксимация многомерной функции многомерными ортогональными полиномами

Рассмотрим вопрос об аппроксимации функции многих переменных, значения которой заданы в табличной форме, ортогональными полиномами методом наименьших квадратов [11].

Предположим, что в результате наблюдений получена таблица значений функции от n аргументов в N точках с некоторой погрешностью

(7.15)

где и пусть число точек N достаточно велико.

Найдем полином k -й степени от n переменных, минимизирующее выражение

(7.16)

где - весовая функция.

Употребляя обозначения Гаусса (вместо символа для обозначения суммирования по числу N точек следует писать квадратные скобки, а индексы опускать), выражение (7.16)запишем следующим образом:

(7.17)

Функцию ищем в виде

(7.18)

где - ортогональный полином i -й степени.

Запишем условие ортогональности

(7.19)

Из условий (7.19)следует, что

при (7.20)

Подставляя (7.18) в (7.20), учитывая условие ортогональности , найдем коэффициент а.

(7.21)

Обратимся к построению ортогональных полиномов. Положим , а распишем для общего случая

(7.22)

Пронумеруем коэффициенты и . Для этого представим индексы как числа в (k+1) -ой системе счисления, расположим их в возрастающем порядке и пересчитаем. Всего коэффициентов будет (в дальнейшем будем их обозначать через где ), а коэффициентов будет (в дальнейшем будем их обозначать , где ).