Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕостроение математических моделей дл€ расчета показателей надежности по дереву отказов




 

ћатематические модели дл€ расчета показателей надежности системы по ƒќ в соответствии с рекомендаци€ми [25] могут быть получены с использованием булева представлени€ ƒќ и применени€ метода минимальных сечений.

 

2.3.3.1 Ѕулево представление дерева отказов. ѕусть состо€ние системы задаетс€ некоторой функцией . ѕредположим, что система с точки зрени€ надежности может находитьс€ только в двух характерных состо€ни€х: работоспособном () и неработоспособном ()

(2.7)

ƒопустим также, что состо€ние элементов и выполнение заданных условий описываетс€ некоторым вектором

, (2.8)

где Ц переменна€, характеризующа€ состо€ние -го элемента, либо выполнение -го услови€ (если -й номер услови€), Ц общее число элементов системы и наложенных условий.

ѕусть кажда€ переменна€ вектора принимает только два значени€ , либо . –авенство означает нахождение -го элемента в работоспособном состо€нии, либо (если -й номер услови€) Ц невыполнение наложенного услови€. ѕри -й элемент находитс€ в состо€нии отказа, либо выполнено -е условие.

Ћогической функцией работоспособности (Ћ‘–) системы будем называть функцию алгебры логики (‘јЋ), св€зывающую состо€ние элементов системы и выполнение некоторых заданных условий с работоспособным состо€нием системы

. (2.9)

‘ункцию называют монотонной, если дл€ любых наборов и , таких, что имеет место соотношение

. (2.10)

ќбъекты, удовлетвор€ющие этим услови€м, называют системами с монотонной структурой. »наче условие монотонности может быть представлено в следующей форме.

ќбъект будет обладать монотонной структурой при соблюдении следующих условий:

≈сли все элементы системы наход€тс€ в работоспособном состо€нии, а все услови€ не выполнены, т.е. , то система находитс€ в работоспособном состо€нии.

≈сли все элементы отказали и все услови€ выполнены, то система переходит в состо€ние отказа.

ќтказ, либо выполнение какого-либо услови€, не может перевести систему в работоспособное состо€ние из неработоспособного, и, наоборот, восстановление отказа элемента дл€ системы, наход€щейс€ в работоспособном состо€нии, не может вызвать перехода ее в состо€ние отказа.

¬се реальные технические системы с точки зрени€ перечисленных правил относ€тс€, как правило, к системам с монотонной структурой.

ƒл€ монотонной структуры Ћ‘– системы можно записать с помощью минимальных путей (ћѕ) или минимальных сечений (ћ—), которые несложно выделить при анализе конкретного дерева отказов.

ѕутем называетс€ множество элементов , единичное состо€ние которых обеспечивает единичное состо€ние Ћ‘–. »наче, путь Ц это набор элементов системы, наход€щихс€ в работоспособном состо€нии и невыполненных условий, обеспечивающих работоспособное состо€ние системы.

ћинимальным путем называетс€ така€ конъюнкци€ элементов и условий, когда ни одну из компонент нельз€ изъ€ть, не нарушив непредельного состо€ни€ системы.

“ака€ конъюнкци€ может быть записана в виде следующей ‘јЋ

, (2.11)

где Ц означает множество номеров, соответствующих пути .

»наче, минимальный путь Ц это минимальный набор элементов и условий, работоспособное состо€ние (невыполнение условий) которых обеспечивает работоспособное состо€ние системы.

—ечением называетс€ множество элементов , нулевое состо€ние которых обеспечивает нулевое состо€ние Ћ‘–.

»наче, сечение Ц это набор элементов системы, отказ которых, и условий, выполнение которых, обеспечивают неработоспособное состо€ние системы.

ћинимальным сечением системы называетс€ така€ конъюнкци€ отрицаний его элементов и условий, когда ни одну из компонент нельз€ изъ€ть, не нарушив состо€ни€ отказа системы.

“ака€ конъюнкци€ записываетс€ в виде следующей ‘јЋ

, (2.12)

где Ц означает множество номеров, соответствующих сечению .

ƒобавление хот€ бы одного элемента к ћѕ или ћ— лишает их свойств минимальности, а удаление Ц свойств пути, или, соответственно, сечени€.

»звестно, что любой система с конечным числом элементов и наложенных условий имеет конечное число минимальных путей () и минимальных сечений ().

“огда условие отказа системы может быть записано двум€ различными способами:

а) через минимальные пути

(2.13)

в виде конъюнкции отрицаний всех имеющихс€ минимальных путей;

б) через минимальные сечени€

(2.14)

в виде дизъюнкции всех имеющихс€ минимальных сечений.

¬ свою очередь, услови€ работоспособности имеют вид:

а) через минимальные пути

(2.15)

в виде дизъюнкции всех имеющихс€ минимальных путей;

б) через минимальные сечени€

(2.16)

в виде конъюнкции отрицаний всех имеющихс€ минимальных сечений.

ќтказ системы не достигаетс€ если

(2.17)

—оответственно, услови€ отказа системы:

(2.18)

”словие (2.12) означает, что в структуре ƒќ есть хот€ бы один ћѕ, либо нет ни одного ћ—. ”словие (2.13) означает, что в структуре ƒќ нет ни одного ћѕ, либо есть хот€ бы одно ћ—.

ѕример. —формировать услови€ отказа и работоспособности дл€ системы, ƒќ которой приведено на рис. 2.11.

ћножество минимальных путей, определ€емое при анализе ƒќ, имеет вид (дл€ простоты здесь и далее операци€ конъюнкции будем обозначать знаком Ђумножени€ї, т.е. ):

ћножество минимальных сечений ƒќ имеет вид:

.

Ћ‘– системы может быть записана в соответствии с (2.15) как

,

либо в соответствии с (2.16) как

.

¬ соответствии с (2.13) имеем:

а в соответствии с (2.14)

.

“огда в соответствии с (2.17) услови€ работоспособности можно представить как:

либо

либо

либо

.

¬ соответствии с выражением (2.18), следующие услови€ формируют услови€ отказа системы:

либо

либо

либо .

ƒл€ дальнейшего анализа может быть выбрана та форма задани€ условий отказа, котора€ €вл€етс€ наиболее компактной, хот€ все остальные формы полностью эквивалентны относительно конечного результата.

“аким образом, булево описание услови€ отказа системы позвол€ет наиболее полно, четко и однозначно представить причинно-следственные св€зи между неработоспособным состо€нием системы и состо€ни€ми его элементов и другими факторами, определ€ющими надежность системы.

 

2.3.3.2 ѕостроение веро€тностной функции работоспособности системы. ¬ыше показано, как представить в форме функций алгебры логики услови€ работоспособности системы. –ассмотрим особенности расчета веро€тности безотказной работы системы по известным ‘јЋ.

¬ведем следующие обозначени€: Ц ¬Ѕ– системы на интервале Ц веро€тность отсутстви€ начального событи€ в ƒќ (¬Ѕ– -го элемента, либо веро€тность невыполнени€ заданного услови€).

ѕусть известна Ћ‘– системы, описанна€ некоторой произвольной ‘јЋ вида (2.9). ¬еро€тностной функцией работоспособности (¬‘–) системы будем называть веро€тность истинности Ћ‘–

. (2.19)

≈сли ввести в рассмотрение веро€тность наступлени€ i-го событи€ в Ћ‘–

тогда в предположении о независимости событий , функцию (2.19) можно преобразовать к виду

. (2.20)

“огда можно сформулировать правило расчета ¬Ѕ–: веро€тность безотказной работы системы на интервале равна значению ¬‘– на этом интервале.

“аким образом, задача оценивани€ ¬Ѕ– системы при известной Ћ‘– сводитс€ к нахождению аналитического выражени€ дл€ ¬‘– и подстановке в нее значений веро€тностей (веро€тностей событий, инверсных базовым событи€м ƒќ), определенных на интервале .

–ассмотрим возможности определени€ вида выражени€ ¬‘– по Ћ‘–. ¬ общем случае Ћ‘– представл€ет собой произвольную ‘јЋ.

»з полученных ранее в теории надежности результатов известно, что существуют такие формы задани€ ‘јЋ, которые допускают непосредственный переход в веро€тностную функцию (¬‘) заменой логических переменных веро€тност€ми , а логических операций Ц соответствующими арифметическими операци€ми. “акие ‘јЋ называют формами перехода к замещению (‘ѕ«).

≈сли ‘јЋ представлена в ‘ѕ«, то переход к ¬‘ осуществл€етс€ по следующим правилам:

- кажда€ буква в ‘ѕ« замен€етс€ веро€тностью ее равенства единице, причем

; (2.21)

- отрицание функции замен€етс€ разностью между единицей и веро€тностью равенства этой функции единице, например

- операции логического умножени€ и сложени€ замен€ютс€ операци€ми арифметического умножени€ и сложени€.

—уществуют различные формы перехода к полному замещению. ѕрежде чем дать их характеристику, приведем р€д определений из алгебры логики [9], по€сн€ющих используемые в дальнейшем пон€ти€.

¬ыражение вида

(2.22)

называетс€ элементарной конъюнкцией () ранга , где Ц двоична€ переменна€ величина, така€, что

¬ силу того, что , все символы в различны.

¬ыражение вида

, (2.23)

где Ц элементарные конъюнкции различных рангов, называетс€ дизъюнктивной нормальной формой (ƒЌ‘).

≈сли функци€ записана в ƒЌ‘, причем ранг каждой элементарной конъюнкции равен , то така€ ƒЌ‘ называетс€ совершенной ƒЌ‘ (—ƒЌ‘).

ƒве элементарные конъюнкции называютс€ ортогональными, если их произведение равно нулю.

ƒЌ‘ называетс€ ортогональной ƒЌ‘ (ќƒЌ‘) если все ее члены попарно ортогональны.

Ѕесповторной ƒЌ‘ называетс€ така€ ƒЌ‘, в которой все буквы имеют разные номера.

»звестно, что ‘јЋ, записанные в —ƒЌ‘, ќƒЌ‘ или в форме бесповторной ‘јЋ в базисе конъюнкци€-отрицание, €вл€ютс€ ‘ѕ«.

ѕриведем общий алгоритм преобразовани€ ‘јЋ произвольной формы к ‘ѕ« (рис. 2.14).

Ќа первом этапе анализируетс€ форма ‘јЋ.

–исунок 2.14 Ц —хема алгоритма преобразовани€ ‘јЋ к ‘ѕ«

 

≈сли ‘јЋ €вл€етс€ бесповторной, т.е. с неповтор€ющимис€ номерами переменных, то они преобразуютс€ в ‘ѕ« по правилу де ћоргана (к базису конъюнкци€-отрицание).

ѕри повторной форме ‘јЋ она преобразуетс€ в ƒЌ‘ и анализируетс€ еЄ вид. ≈сли преобразованна€ ‘јЋ имеет вид —ƒЌ‘, то ‘ѕ« получена, и можно формировать ¬‘– по правилам замещени€. ¬ противном случае используетс€ р€д методов, к основным из которых относ€тс€ метод ортогонализации и метод разрезани€.

ћетод ортогонализации основываетс€ на использовании следующих утверждений.

ќтрицание элементарной конъюнкции ранга эквивалентно дизъюнкции

. (2.24)

¬ матричной форме записи логических функций данное преобразование имеет вид

. (2.25)

Ѕулева функци€ представл€етс€ в ƒЌ‘ в виде

(2.26)

и эквивалентна функции

, (2.27)

или в матричной форме записи:

. (2.28)

≈сли вместо каждого выражени€ подставить его представление согласно (2.24), то после приведени€ дизъюнкции (2.27) к ƒЌ‘ (раскрытием скобок) получим ќƒЌ‘ булевой функции

(2.29)

где Ц ортогональные члены функции , записанной в ќƒЌ‘;

Ц число членов ќƒЌ‘.

ѕреобразовав Ћ‘– к ќƒЌ‘, можно приступить к формированию ¬‘– по правилам замещени€.

ћетод разрезани€ основываетс€ на следующем утверждении.

ƒл€ любой структурной функции пор€дка справедливо следующее

“аким образом, если аргумент функции €вл€етс€ совместной двоичной переменной, то преобразование (2.20) дает возможность перейти к дизъюнкции двух несовместных высказываний, причем в первое высказывание аргумент входит своим утверждением, а во второе Ц отрицанием. ‘ункции отличаютс€ от функции тем, что в них везде вместо аргумента подставлены соответственно 1 и 0.

јргументы и можно прин€ть за несовместимые гипотезы, образующие полную группу событий и, следовательно, есть все основани€ примен€ть формулу полной веро€тности. Ќеобходимо также, чтобы функции были представлены в ‘ѕ«. — этой целью процедуру разрезани€ повтор€ют требуемое число раз.

Ќа первом шаге разрезание функции производитс€ по той из переменных, котора€ большее число раз встречаетс€ в выражении функции. ѕосле первого шага получают разложение (2.30). «атем функции упрощаютс€ по правилам алгебры логики и анализируютс€ на предмет наличи€ в них повтор€ющихс€ переменных. ѕри их наличии, процедура разрезани€ примен€етс€ к

ќпераци€ разрезани€ проводитс€ до тех пор, пока на очередном шаге не окажетс€, что ни в одну функцию ни одна переменна€ не входит более одного раза. “аким образом, получаем дизъюнкцию, каждый член которой представл€ет собой бесповторную ‘јЋ, в общем случае произвольную.

ѕрименив к , где Ц множество индексов типа 0, 1, 01, 11,Е правило де ћоргана, получим бесповторную ‘јЋ в базисе конъюнкци€-отрицание. “ака€ форма ‘јЋ €вл€етс€ ‘ѕ«.

–езультатом выполнени€ разрезани€ исходна€ ‘јЋ преобразуетс€ к виду

где Ц число членов дизъюнкции;

Ц бесповторные ‘јЋ в базисе конъюнкци€-отрицание;

Ц несовместные гипотезы, образующие полную группу.

¬‘– вычисл€етс€ по формуле полной веро€тности

(2.30)

‘јЋ, характеризующие гипотезы и , представлены в форме бесповторной ‘јЋ в базисе конъюнкци€-отрицание, что позвол€ет далее применить правило замещени€.

ѕример. –ассмотрим Ћ‘– системы, составленную по ƒќ, приведенному на рис. 2.11. Ћ‘–, образованна€ на основе ћ— по правилу (2.16), имеет вид

.

¬ данной ‘јЋ отсутствуют повтор€ющиес€ элементы, поэтому она может быть преобразована к ‘ѕ« по правилу де ћоргана

.

ƒалее по правилу замещени€ получаем выражение дл€ ¬‘–

.

ѕосле преобразований окончательно получаем

(2.31)

¬Ѕ– с учетом (2.31) рассчитываетс€ по формуле

(2.32)

 

ѕример. ≈сли в основу образовани€ Ћ‘– положить правило (2.10), то ее выражение, как было показано выше, имеет следующий вид

. (2.33)

   

‘јЋ (2.33) €вл€етс€ повторной и выражена в ƒЌ‘ (несовершенной). ѕоэтому применим алгоритм разрезани€.

¬ выражении (36) переменные задействованы по четыре раза, а остальные по два. –азрежем ‘јЋ (2.33) по переменной

.

ѕрименив аналогичные преобразовани€ относительно имеем

‘јЋ в круглых скобках €вл€етс€ повторной и должна быть разрезана. ƒопустим разрезание произойдет относительно переменной

далее по

(2.34)

ѕреобразовав (2.34) получим

(2.35)

»з (2.35) следует, что необходимо рассмотреть следующие гипотезы

(2.36)

ѕрименив правило ƒе ћоргана к выражению , получим

. (2.37)

— учетом (2.36), (2.37) ¬‘– имеет вид (см. (2.30))

¬ыполнив преобразовани€ и раскрыв скобки, окончательно имеем:

(2.38)

(2.39)

 

»з сравнени€ (2.32) и (2.39) видно, что различна€ форма задани€ Ћ‘– системы приводит лишь к различи€м в методах ее преобразовани€ к ‘ѕ«, и не вли€ет на конечный результат определени€ вида ¬‘–.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1504 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—вобода ничего не стоит, если она не включает в себ€ свободу ошибатьс€. © ћахатма √анди
==> читать все изречени€...

2142 - | 1889 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.077 с.