Математическую модель изображают в виде графа состояний. Элементы графа:
- кружки (вершины графа 
, 
,…, 
) – возможные состояния системы 
, возникающие при отказах элементов;
- стрелки – возможные направления переходов из одного состояния 
в другое 
.
Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.
Примеры диаграмм графа представлен на рис. 2.16.
а)
| 
б)
|
Рисунок 2.16 – Примеры диаграмм графа состояний системы с восстановлением («восстанавливаемый элемент») (а) и системы без восстановления («невосстанавливаемый элемент») (б)
На рис 2.16 введены следующие обозначения:
- 
– работоспособное состояние;
- – состояние отказа.
Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы , ,…, . Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.
Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний
, 
, …, 
, …, 
,
где – вероятность нахождения системы в момент 
в 
состоянии, 
.
Очевидно, что для любого
(2.42)
По графу состояний (рис. 2.17) составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид
. (2.43)
Рисунок 2.17 – Диаграмма графа состояний
В общем случае, интенсивности потоков 
и 
могут зависеть от времени .
При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:
а) в левой части – производная по времени от 
;
б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;
в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;
г) знак произведения положителен, если стрелка входит в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.
Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний , , …, , …, необходимо задать начальное значение вероятностей 
, 
, …, 
, …, 
, при 
, сумма которых равна единице:
Если в начальный момент состояние системы известно, например, 
, то 
, а остальные равны нулю
.
