В этом примере формализации физико-процессно-математической модели наглядно демонстрируется сам подход к этой формализации. Главное, что здесь мощно работает теория процессов и аппаратов химической технологии. Одновременно показывается последовательность формализации модели: сначала заданные параметры, потом законы сохранения в виде материальных и тепловых балансов, потом поиск количественных связей об интенсивностях процессов переноса и окончательно – замкнутая модель аппарата (процесса). В модели должны фигурировать все apriory известные заданные параметры, возможно появление новых заданных параметров. Итак, ищутся потоки и их параметры на выходе из аппарата в зависимости от потоков и их параметров на входе.
Далее в примере будем выполнять одно из правил формализации модели: все величины, известные с хорошей точностью, будем записывать в модели в виде чисел с размерностью в СИ. Это позволяет не увеличивать размерность модели и ее громоздкость.
Рис. Расчетная схема аппарата – зоны термообработки
в линии производства керамзитового песка мощностью 50 тыс. м3/год.
На этом рисунке:
GГ′ - массовый расход глины на входе в аппарат, кг. а.с.гл./с.
a′ - влажность глины, кг воды/кг. а.с.гл.
t0 – температура частиц глины на входе в аппарат, 0С.
f′(d) – плотность распределения вероятностей случайного размера d частицы глины, м-1.
GДГ – массовый расход абсолютно сухих дымовых газов на входе в аппарат, кг.а.с.дг./с.
G′ПЫЛЬ – массовый расход абсолютно сухой пыли глины на входе в аппарат, кг. пыли/с.
u′ - влажность дымовых газов, кг. воды/кг. а.с.дг.
tДГ – температура дымовых газов на входе в аппарат, 0С.
G″ГЛ – массовый расход абсолютно сухой глины на выходе из аппарата, кг. а.с.гл./с.
а″ - влажность глины на выходе из аппарата, кг. воды/кг.а.с.гл.
t – температура в зоне термообработки, зернистого материала и газов с пылью на выходе из аппарата, 0С.
f″(d) – плотность распределения вероятностей случайного размера d частиц глины в псевдоожиженном слое и на выходе из аппарата, м-1.
GДГ – массовый расход абсолютно сухих дымовых газов на выходе из аппарата, эти газы проходят аппарат как инерт с постоянным расходом, кг. а.с.г./с.
G″ПЫЛЬ – массовый расход пыли на выходе из аппарата, эта пыль принимается абсолютно сухой, кг. пыли/с.
u″ - влажность дымовых газов на выходе из аппарата, кг. воды/кг.а.с.дг.
Заданные параметры: температура в аппарате t, W – число псевдоожижения в слое аппарата.
Пишем законы сохранения.
Баланс по абсолютно сухой глине:
G′ГЛ + G′ПЫЛЬ = G″ГЛ + G″ПЫЛЬ (1)
Баланс по воде:
G′ГЛ ∙ а′ + GДГ ∙ u′ = GДГ ∙ u″ + G″ГЛ ∙ а″ (2)
Из экспериментов по сушке глиняных частиц известно, что влажность «а» можно разделить на два вида. Первый – свободная влага в капиллярах и трещинах в частицах и абсорбированная влага на стенках этих капилляров и трещин. Вторая – кристаллизационная вода, т.е. входящая в состав кристаллогидратов, в минералы глины. Первая удаляется при небольших температурах < 3500С-4000С, вторая – при высоких ~ 10000С. Следовательно, в зоне термообработке удаляется только свободная и абсорбированная влага, а кристаллизационная аКРИСТ влажность глины проходит аппарат в виде инерта. Величина аКРИСТ определяется экспериментально для глин различных месторождений и считается в этой модели известной величиной. Следовательно,
а″ = аПЫЛЬ = аКРИСТ (3)
Баланс по пыли:
G′ПЫЛЬ + GУНОС = G″ПЫЛЬ (4)
Здесь GУНОС – массовый расход пыли из псевдоожиженного слоя в аппарате, кг. пыли/с. Это по существу пыль, отдуваемая из входящего потока зернистого материала.
Может удивить такое внимание разработчика модели к потокам пыли. На самом деле при эксплуатации промышленной установки величина уноса доходила до 30% от входного потока глины. Следовательно, треть самосвалов, привозящих сырцовую глину из карьера, делали бессмысленную и вредную для природы работу.
Займемся расчетом величины GУНОСА.
Линейная скорость газовой фазы wСЗ в верху сепарационной зоны (см. рисунок).
WСЗ = GДГ (1 + w″) ∙ 1/ρСМЕСИ ∙ 4/πD2СЗ, м/с. (5)
Плотность смеси дымовых газов и паров воды ρСМЕСИ найдем, зная массовые расходы дымовых газов GДГ и массовый расход паров воды GВОДЫ
GВОДЫ = GДГ ∙ w″, кг. воды/с. (6)
(7)
(8)
(9)
Здесь Р – давление в аппарате, Па.
Критерий Рейнольдса для уносимых частиц глины вверху сепарационной зоны аппарата:
,
где dmax – максимальный размер частиц в уносе, который технолог решил вынести из псевдоожиженного слоя, νСМЕСИ – коэффициент кинематической вязкости дымовых газов, справочная величина.
Расчетная формула для определения величины уноса из слоя основана на функциональной связи ReСЗ = f(Ar) [П.1.1], где
Для 
После подстановки известных численных величин окончательно получаем зависимость
(10)
Расчетную формулу для поиска потока пыли из слоя GУНОС находим следующим образом. Массовый расход зернистого материала на входе равен:
G′ГЛ = N∙ 
ρГЛ ∙ πd3/6 ∙ f′(d) ∙ d(d),
где N - штучный расход частиц в аппарат, шт/с. Отсюда
,
,
Окончательно, GУНОС = G′ГЛ∙ 
d3 ∙ f′(d) ∙ d(d) ∙ ( d3 ∙ f′(d) ∙ d(d))-1.
(11)
Сразу найдем распределение частиц по размеру d, которые останутся в слое аппарата зоны термообработки после уноса мелочи с d < dMAX из исходного потока глины в аппарат:
, dMAX < d < ∞. (12)
С этим же распределением по размеру будет поток высушенного и нагретого зернистого материала в зону обжига, т.е. в следующий по технологической схеме агрегат.
Тепловой баланс зоны термообработки:
Приход:
G′ГЛ∙сГЛ∙t0 – теплосодержание абс. сухой глины на входе в аппарат;
G′ГЛ∙(а′ - аКРИСТ)∙сВ∙t0 – теплосодержание свободной и абсорбированной воды в частицах глины;
GДГ∙ср∙tДГ – теплосодержание абс. сухих дымовых газов на входе в псевдоожиженный слой зоны термообработки;
GДГ∙u′∙срв∙tДГ – теплосодержание паров воды в дымовых газах на входе в аппарат;
G′ПЫЛЬ∙сГЛ∙tДГ – теплосодержание пыли на входе в аппарат, пришедшей из зоны обжига.
Уход:
G″ГЛ∙сГЛ∙t – теплосодержание абс. сухой глины на выходе из зоны термообработки (напоминаем: кристаллизационная вода находится в минералах глины);
GДГ∙ср∙t – теплосодержание абс. сухих дымовых газов на выходе из аппарата;
G″ПЫЛИ∙сГЛ∙t – теплосодержание пыли на выходе;
G′ГЛ∙(а″ - аКРИСТ)∙срв∙t – теплосодержание паров воды, которые образовались в результате сушки глины;
GДГ∙u′∙срв∙t – теплосодержание паров воды, которые ранее вошли в слой с дымовыми газами;
G′ГЛ∙(а′ - аКРИСТ)∙r – затраты теплоты на процесс парообразования при сушке глины (теплота парообразования r – справочная величина при температуре t).
Приравняв приход теплоты уходу, получаем зависимость температуры в зоне термообработки от параметров ведения процесса:
t = [G′ГЛ∙сГЛ∙t0+G′ГЛ∙(а′-аКРИСТ)∙сГЛ∙t0+GДГ∙ср∙tДГ+GДГ∙u′∙cрв∙tДГ+
+G′ПЫЛЬ∙сГЛ∙tДГ-G′ГЛ∙(а′-аКРИСТ)∙r] ∙
[G″ГЛ∙сГЛ+GДГср+G″ПЫЛЬсГЛ+G′ГЛ∙(а″-аКРИСТ)∙срв+GДГ∙u′∙cрв]-1 (13)
Напомним, что величина t является заданным технологическим параметром. Другим, уже процессным, заданным параметром является число псевдоожижения W в зоне термообработки. По определению
W = wр / wкр,
где wр – рабочая скорость газовой фазы, рассчитанная на все сечение аппарата, wкр – критическое число псевдоожижения. По известной формуле О.М. Тодеса имеем зависимость:
Здесь εкр = ε0∙1,1, ε0-порозность частиц при плотной упаковке, ε0 = 0,45. Тогда εкр = 0,495. Критерий Архимеда
Ar ≡ (gd*3/νДГ2)∙(ρГЛ/ρСМЕСИ).
В выражениях для Re и Ar величина d* - средний размер частиц полидисперсного псевдоожиженного слоя в аппарате:
d* = 
(14)
После подстановки этого выражения в формулу Тодеса, после проведения необходимых вычислений получаем зависимость критической скорости псевдоожижения от параметров процесса:
, м/с. (15)
Рабочая скорость псевдоожижения рассчитывается как
, м/с. (16)
Тогда число псевдоожижения для слоя частиц глины в аппарате равно:
