Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


—лучайные событи€ и величины, их основные характеристики




 ак уже говорилось, при анализе больших систем наполнителем каналов св€зи между элементами, подсистемами и системы в целом могут быть:

Ј продукци€, т. е. реальные, физически ощутимые предметы с заранее заданным способом их количественного и качественного описани€;

Ј деньги, с единственным способом описани€ Ч суммой;

Ј информаци€, в виде сообщений о событи€х в системе и значени€х описывающих ее поведение величин.

Ќачнем с того, что обратим внимание на тесную (системную!) св€зь показателей продукции и денег с информацией об этих показател€х. ≈сли рассматривать некоторую физическую величину, скажем Ч количество проданных за день образ≠цов продукции, то сведени€ об этой величине после продажи могут быть получены без проблем и достаточно точно или достоверно. Ќо, уже должно быть €сно, что при системном анализе нас куда больше интересует будущее Ч а сколько этой продукции будет продано за день? Ётот вопрос совсем не праздный Ч наша цель управл€ть, а по об≠разному выражению Ууправл€ть Ч значит предвидетьФ.

»так, без предварительной информации, знаний о количественных показател€х в системе нам не обой≠тись. ¬еличины, которые могут принимать различные значени€ в зависимости от внешних по отношению к ним условий, прин€то называть случайными (стохастичными по природе). “ак, например: пол встреченного нами человека может быть женским или мужским (дискретна€ случайна€ величина); его рост также может быть различным, но это уже непрерывна€ случайна€ величина Ч с тем или иным количеством возможных значений (в зависимости от единицы измерени€).

ƒл€ случайных величин (далее Ч —¬) приходитс€ использовать особые, статистические методы их описани€. ¬ зависимости от типа самой —¬ Ч дискретна€ или непрерывна€ это делаетс€ по разному.

ƒискретное описание заключаетс€ в том, что указываютс€ все возможные значени€ данной величины (например - 7 цветов обычного спектра) и дл€ каждой из них указываетс€ веро€тность или частота наблюдений именного этого значени€ при бесконечно большом числе всех наблюдений.

 

ћожно доказать (и это давно сделано), что при увеличении числа наблюдений в определенных усло≠ви€х за значени€ми некоторой дискретной величины частота повторений данного значени€ будет все больше приближатьс€ к некоторому фиксированному значению Ч которое и есть веро€тность этого значени€.

  пон€тию веро€тности значени€ дискретной —¬ можно подойти и иным путем Ч через случайные собы≠ти€. Ёто наиболее простое пон€тие в теории веро€тностей и математической статистике Ч событие с веро€тностью 0.5 или 50% в 50 случа€х из 100 может произойти или не произойти, если же его веро€тность более 0.5 - оно чаще происходит, чем не происходит. —обыти€ с веро€тностью 1 называют достоверными, а с веро€тностью 0 Ч невозможными.

ќтсюда про≠стое правило: дл€ случайного событи€ X веро€тности P(X) (событие происходит) и P(X) (событие не происходит), в сумме дл€ простого событи€ дают 1.

≈сли мы наблюдаем за сложным событием Ч например, выпадением чисел 1..6 на верхней грани игральной кости, то можно считать, что такое событие имеет множество исходов и дл€ каждого из них веро€тность составл€ет 1/6 при симметрии кости.

≈сли же кость несимметрична, то веро€тности отдельных чисел будут разными, но сумма их равна 1.

—тоит только рассматривать итог бросани€ кости как дискретную случайную величину и мы придем к пон€тию распределени€ веро€тностей такой величины.

ѕусть в результате достаточно большого числа наблюдений за игрой с помощью одной и той же кости мы получили следующие данные:

“аблица 2.1

√рани             »того
Ќаблюдени€              

ѕодобную таблицу наблюдений за —¬ часто называют выборочным распределением, а соответствующую ей картинку (диаграмму) Ч гистограммой.

 

 

–ис. 2.1

 акую же информацию несет така€ табличка или соответствующа€ ей гистограмма?

ѕрежде всего, всю Ч так как иногда и таких данных о значени€х случайной величины нет и их приходитс€ либо добывать (эксперимент, моделирование), либо считать исходы такого сложного событи€ равноверо€тными Ч по на любой из исходов.

— другой стороны Ч очень мало, особенно в цифровом, численном описании —¬.  ак, например, ответить на вопрос: Ч а сколько в среднем мы выигрываем за одно бросание кости, если выигрыш соответствует выпавшему числу на грани?

Ќетрудно сосчитать:

1Х0.140+2Х0.080+3Х0.200+4Х0.400+5Х0.100+6Х0.080= 3.48

“о, что мы вычислили, называетс€ средним значением случайной величины, если нас интересует прошлое.

≈сли же мы поставим вопрос иначе Ч оценить по этим данным наш будущий выигрыш, то ответ 3.48 прин€то называть математическим ожиданием случайной величины, которое в общем случае определ€етс€ как

Mx = å Xi Ј P(Xi); {2 - 1}

где P(Xi) Ч веро€тность того, что X примет свое i-е очередное значение.

“аким образом, математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной)Ч это то, к чему стремитс€ ее среднее значение при достаточно большом числе наблюдений.

ќбраща€сь к нашему примеру, можно заметить, что кость несимметрична, в противном случае веро€тности составл€ли бы по 1/6 кажда€, а среднее и математическое ожидание составило бы 3.5.

ѕоэтому уместен следующий вопрос - а какова степень асимметрии кости - как ее оценить по итогам наблюдений?

ƒл€ этой цели используетс€ специальна€ величина Ч мера рассе€ни€ Ч так же как мы "усредн€ли" допустимые значени€ —¬, можно усреднить ее отклонени€ от среднего. Ќо так как разности (Xi - Mx) всегда будут компенсировать друг друга, то приходитс€ усредн€ть не отклонени€ от среднего, а квадраты этих отклонений. ¬еличину

{2 - 2}

прин€то называть дисперсией случайной величины X.

¬ычисление дисперсии намного упрощаетс€, если воспользоватьс€ выражением

{2 - 3}

т. е. вычисл€ть дисперсию случайной величины через усредненную разность квадратов ее значений и квадрат ее среднего значени€.

¬ыполним такое вычисление дл€ случайной величины с распределением рис. 1.

“аблица 2.2

√рани(X)             »того
X2              
Pi 0.140 0.080 0.200 0.400 0.100 0.080 1.00
PiХX2Х1000              

“аким образом, дисперси€ составит 14.04 - (3.48)2 = 1.930.

«аметим, что размерность дисперсии не совпадает с размерностью самой —¬ и это не позвол€ет оценить величину разброса. ѕоэтому чаще всего вместо дисперсии используетс€ квадратный корень из ее значени€ Ч т. н. среднеквадратичное отклонение или отклонение от среднего значени€:

{2 - 4}

составл€ющее в нашем случае = 1.389. ћного это или мало?

—ообразим, что в случае наблюдени€ только одного из возможных значений (разброса нет) среднее было бы равно именно этому значению, а дисперси€ составила бы 0. » наоборот - если бы все значени€ наблюдались одинаково часто (были бы равноверо€тными), то среднее значение составило бы (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.500; усредненный квадрат отклонени€ Ч (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6 =15.167; а дисперси€ 15.167-12.25 = 2.917.

“аким образом, наибольшее рассе€ние значений —¬ имеет место при ее равноверо€тном или равномерном распределении.

ќтметим, что значени€ Mx и SX €вл€ютс€ размерными и их абсолютные значени€ мало что говор€т. ѕоэтому часто дл€ грубой оценки "случайности" данной —¬ используют т. н. коэффициент вариации или отношение корн€ квадратного из дисперсии к величине математического ожидани€:

Vx = SX/MX. {2 - 5}

¬ нашем примере эта величина составит 1.389/3.48=0.399.

»так, запомним, что неслучайна€, детерминированна€ величина имеет математическое ожидание равное ей самой, нулевую дисперсиюи нулевой коэффициент вариации, в то врем€ как равномерно распределенна€ —¬ имеет максимальную дисперсию и максимальный коэффициент вариации.

¬ р€де ситуаций приходитс€ иметь дело с непрерывно распределенными —¬ - весами, рассто€ни€ми и т. п. ƒл€ них иде€ оценки среднего значени€ (математического ожидани€) и меры рассе€ни€ (дисперсии) остаетс€ той же, что и дл€ дискретных —¬. ѕриходитс€ только вместо соответствующих сумм вычисл€ть интегралы. ¬торое отличие Ч дл€ непрерывной —¬ вопрос о том какова веро€тность прин€ти€ нею конкретного значени€ обычно не имеет смысла Ч как проверить, что вес товара составл€ет точно 242 кг - не больше и не меньше?

ƒл€ всех —¬ Ч дискретных и непрерывно распределенных, имеет очень большой смысл вопрос о диапазоне значений. ¬ самом деле, иногда знание веро€тности того событи€, что случайна€ величина не превзойдет заданный рубеж, €вл€етс€ единственным способом использовать имеющуюс€ информацию дл€ системного анализа и системного подхода к управлению. ѕравило определени€ веро€тности попадани€ в диапазон очень просто Ч надо просуммировать веро€тности отдельных дискретных значений диапазона или проинтегрировать кривую распределени€ на этом диапазоне.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 422 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ѕольшинство людей упускают по€вившуюс€ возможность, потому что она бывает одета в комбинезон и с виду напоминает работу © “омас Ёдисон
==> читать все изречени€...

760 - | 585 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.014 с.