(при расчете функции нескольких аргументов,
измеренных непосредственно).
Задана формула, по которой рассчитывается функция Y:
Проведено “n” измерений всех аргументов [x1, x2,…, xk], известны СКО S(хk) по каждому из аргументов.
Чему равно СКО функции S(Y)=?
Эту задачу решим вначале для функции двух аргументов Y=f [x1, x2].
Ограничения:
1)погрешности аргументов Δxk чисто случайные и независимые;
2)погрешности аргументов Δxk существенно меньше значений аргументов Хk;
3)плотность распределения погрешностей Δxk симметрична относительно центра;
4)функция Y непрерывна в заданном диапазоне и имеет производные в каждой точке.
Тогда эту функцию можно разложить в ряд Тейлора по степеням производных.
Предположим, нам известны точные значения функции Y0 и аргументов x10, x20.
Тогда погрешности в результате 1го измерения получим в виде:
Y0 + Δy1 =f(x10, x20 ) + 
отсюда погрешность Δy1 в результате 1го измерения
(пренебрегаем членами разложения производных более высокого порядка, кроме 1го):
Аналогично, для 2го измерения:
Для n-го измерения:
- 30 -
Возведем каждое из этих уравнений (левые и правые части) в квадрат и сложим, получим:
Слагаемое:
при достаточно большом значении числа измерений “n” стремится к нулю, с учетом ограничения №3.
Разделив левую и правую часть уравнения на “n”, получим:
 |
Очевидно, что полученный вывод можно распространить и на общий случай функции Y от “k” аргументов:
Дисперсия функции «k» аргументов равна сумме произведений квадратов частных производных функции по аргументам на дисперсии соответствующих аргументов.
 |
СКО функции:
 |
Полученный результат распространяют также на все виды нормированных погрешностей, например, рассчитываемых по классам точности приборов, измеряющих величины аргументов функции
- 31 -
ПРИЛОЖЕНИЕ П2
