Глава 2 показатели надежности систем

 

Анализ надежности автоматических систем и ее состав­ляющих может быть разделен на две задачи: статическую и дина­мическую. Надежность системы (при заданной схеме и конструкции) в основном зависит от двух параметров:

- требуемого времени безотказной работы,

- условий эксплуатации системы.

Когда эти параметры фиксируются, то рассматривается стати­ческая задача, которая базируется на основных положениях теории вероятностей.

При статическом подходе надежность характеризуется числом подобно тому, как динамические звенья автоматической системы в установившемся режиме характеризуются коэффициентом пере­дачи.

Когда требуемое значение интервала времени безотказной работы или условия эксплуатации системы не фик­сируются при анализе надежности, возникает динамическая за­дача. Основным математическим аппаратом при решении дина­мической задачи наряду с классической теорией вероятностей является теория случайных процессов. Основные зависимости и уравнения динамической задачи удобно с помощью преобразований Лапласа, Меллина, z -преобразования.

Применение для решения динамических задач теории надеж­ности указанных преобразований позволяет, так же как и в стати­ческой задаче, пользоваться структурными методами. Обычно с решением динамической зада­чи связывается надежность восстанавливаемых систем.

Динамическая задача дает возможность также разработать критерии надежности систем или ее отдельных составляющих. Учитывая, что надежность системы является вероятностной харак­теристикой, для разработки критериев можно использовать функ­ции распределения вероятностей в зависимости от рассматривае­мого динамического параметра или моменты функций распределе­ния вероятностей.

Функции распределения вероятностей представляют наиболее полную информацию о надежности системы. При этом в зависи­мости от целей исследования, особенностей рассматриваемой системы могут применяться интегральные, дифференциальные или условные функции распределения вероятностей.

Показателями надежности называются количественные характеристики одного или нескольких свойств, составляющих надежность системы. Выбор тех или иных показателей продиктован видом исследуемой системы.

Для невосстанавливаемых систем, как правило, ограничиваются показателями безотказности. Эти же показатели описывают системы, в принципе подлежащие восстановлению после отказов, но поведение которых целесообразно рассматривать до момента первого отказа. К их числу, например, можно отнести системы, чьи отказы чрезвычайно редки и вызывают особо тяжелые последствия.

К показателям надежности невосстанавливаемых систем относятся:

1. Интегральный закон распределения времени безотказной работы;

2. Интегральный закон распределения времени до отказа;

3. Дифференциальный закон распределения времени исправной работы устройства до первого отказа;

4. Среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа);

5. Интенсивность отказов.

Прежде чем перейти к показателям надежности, необходимо ввести понятие наработки до отказа.

Наработка до отказа (Т) – случайная величина, представляющая собой длительность работы невосстанавливаемой системы до наступления отказа. Для большей части систем наработка до отказа измеряется единицами времени, но она может измеряться и числом включений, срабатываний, циклов. Очевидно, что для систем, работающих без отключений (кроме отказов), наработка до отказа совпадает с временем безотказной работы.

Основным показателем для количественной оценки безотказности элемента, аппаратуры, приборов и АСУ является вероятность безотказной работы P(t) в заданном интервале времени наработки t. Например, Р (1000) =0,99 означает, что из множества элементов данного вида 1% откажет раньше 1000 ч, или что для одного элемента его шансы проработать безотказно 1000 ч составляют 99%. Чем меньше наработка, тем больше P(t). Показатель P(t) полностью определяет безотказность невосстанавливаемых элементов, но применим также и к восстанавливаемым элементам до первого отказа. Вероятность безотказной работы статистически определяется отношением числа элементов n_i, безотказно проработавших до момента времени t, к числу элементов N работоспособ­ных в начальный момент времени t = 0

P_i*=n_i / N. (2.1)

При значительном увеличении числа элементов N статистиче­ская вероятность P_i* сходится к вероятности

Р (t)=P{T.>t} (2.2)

где T— наработка до отказа.

Так как исправная работа и отказ — события противоположные, то они связаны очевидным соотношением:

Q(t)=l - P(t) (2.3)

где Q(t) —вероятность отказа, или интегральный закон распреде­ления случайной величины — времени работы до отказа.

Статистическое значение вероятности отказа равно отношению числа отказавших элементов к начальному числу испытываемых элементов:

Q_i*=1-n_i/N= (N-n_i)/N (2.4)

Производная от вероятности отказа f(t)=dQ(t)/dt= — dP(t)/dt есть дифференциальный закон, или плотность распределения слу­чайной величины — времени исправной работы устройства до пер­вого отказа и характеризует скорость снижения вероятности без­отказной работы во времени.

Среднее время безотказной работы Т_ср представляет собой ма­тематическое ожидание времени работы устройства до отказа

(2.5)

Статистическая формула для расчета Т_ср:

(2.6)

где T_i — время безотказной работы I-го устройства; N – общее число элементов.

Интенсивностью отказов l(t) называют отношение плотности распределения времени исправной работы к вероятности безотказ­ной работы невосстанавливаемого устройства, которая взята для одного и того же момента времени t.

l(t)=f(t)/P(t). (2.7)

Статистическая формула:

l(t)*=2(N₁-N₂)/t(N₁+N₂) (2.8)

где N₁ — начальное количество исправных элементов; N₂ — количество исправных устройств через время t.

Интенсивность отказов является наиболее удобной характеристикой безотказности систем и эле­ментов.

Обработка большого количества информации об отказах автоматических систем позволила получить общую качественную форму зависимости интенсивности отказов от времени (рис. 2.1).

 

На кривой, приведенной на рис.2.1 можно выделить три ха­рактерные области:

1) начальных отказов П (область приработки); 2) случайных отказов С (область зрелости); 3) отказов вследствие старения И (область стрости).

В области П интенсивность отказов сначала возрастает, дости­гает максимального значения и затем уменьшается.

 

Рис. 2.1 Зависимость интенсивности отказов от времени.

 

Верхняя граница области определяется переходом интенсивности отказов зону постоянных значений. Начальные отказы могут быть обусловлены дефектами материалов, а также главным образом производственными дефектами и некоторыми другими факторами. Причины начальных отказов можно устранить опытной эксплуатацией системы, тренировкой в специальных условиях и режимах работы в течение периода времени, называемого периодом приработки. Продолжительность периода приработки, как показывает опыт, зависит от числа дефектов в системе.

В области случайных отказов интенсивность отказов остается величиной постоянной и определяется сложностью системы, качеством применяемых элементов и режимам их работы, условиями эксплуатации и некоторыми другими факторами. Интервал времени, в течение которого интенсивность отказов постоянна, представляет основной рабочий период систем. В некоторых случаях онсовпадает с минимальным значением производственного ресурса системы. Начало роста интенсивности отказов определяет верхнюю границу области случайных отказов и нижнюю границу отказов из-за изношенности. С некоторым допуском возникновение таких отказов может служить критерием долговечности.

В области И интенсивность отказов сильно возрастает вслед­ствие износа отдельных элементов. В восстанавливаемых системах в области И интенсив­ность отказов имеет колебательный характер, причем амплитуда и частота колебаний зависят от долговечности отдельных элемен­тов и организации профилактических мероприятий при эксплуата­ции системы.

В расчетах надежности необходимо учитывать законы распределения случайной величины – времени работы системы до возникновения отказа. Для дискретных случайных величин применяются биномиальный закон распределения и закон Пуассона. Для непрерывных случайных величин применяются экспоненциальный закон, гамма-распределение, закон Вейбулла, нормальный закон.

Экспоненциальный закон применяется для анализа сложных изделий, прошедших период приработки, а также для систем, ра­ботающих в тяжелых условиях под воздействием механических и климатических нагрузок. Типовые элементы радиоэлектроники аппаратуры подчиняется экспоненциальному закону распределения времени отказов в области внезапных отказов с l -кривой (рис. 2.2). Вероятностные характеристики отказов определяются формулами:

(2.9)

Для экспоненциального закона Т_ср=0=1/l и удовлетворяются начальные условия Р(0)=1; Q(0)=0, т. е. отчет времени t начинается с момента выяснения исправности изделия.

Графики изменения показателей надежности при экспоненциальном распределении представлены на рис. 2.2.

 

Рис. 2.2. Показатели надежности при экспоненциальном (А) и нормальном (Б) законе распределения времени безотказной работы.

Основным характерным свойством экспоненциального распределения является то, что вероятность безотказной работы системы на любом интервале времени не зависит от длины этого интервала и не зависит от времени, предшествующей работы системы, т.е. от ее «возраста».

Нормальный закон распределения времени исправной работы изделия применяется дли области И l-кривой (рис. 2.1). 3акон применяется, когда отказы системы зависят от большого числа однородных по своему влиянию факторов в процессах износа, старения. Отчет времени t при нормальном законе ведут с начала эксплуатации системы. Интенсивность отказов монотонно возрастает:

; (2.10)

где s - среднеквадратичное отклонение времени безотказной работы системы.

Нормальное распределение описывает поведение случайных величин в диапазоне от (-¥; +¥), так как наработка до отказа является неотрицательной величиной, то используют усеченное нормальное распределение.

Распределение Вейбулла-Гнеденко применяется для описания надежности ряда электронных и механических технических средств, включая период приработки.

Это двухпараметрическое распределение, где параметр k определяет вид плотности распределения, m – его масштаб. Так, при k=1 распределение Вейбулла совпадает с экспоненциальным, когда интенсивность отказов постоянна; при k>1 интенсивность отказов возрастет; при k<1 интенсивность отказов убывает. Функция надежности при распределении Вейбулла имеет вид:

; (2.11)