Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћатематическое описание случайных погрешностей




 

“ак как результаты наблюдений и случайные погрешности €вл€ютс€ частным примером случайных величин, дл€ математического описани€ их может быть использован аппарат теории веро€тностей. »звестно, что полностью свойства случайной величины описываютс€ функцией распределени€, определ€емой как интегральна€ веро€тность того, что случайна€ величина, например результат наблюдени€ ’i, будет меньше некоторого значени€ х:

 

Fx=P[Xi<x]. (1.6)

 

‘ункци€ fx, называема€ также интегральной функцией (законом) распределени€, €вл€етс€ неубывающей функцией х, причем F(- )=0, a F() = 1. ¬еро≠€тность попадани€ результата наблюдени€ в интервал [x1,x2] равна:

 

P[x1<Xi<x2]=FX(x2)-FX(x1)

 

Ѕолее нагл€дно свойства результатов наблюдений и случайных погрешностей описываютс€ дифференциальной функцией (законом) распределени€, называемой обычно плотностью веро€тности:

 

(1.7)

 

ѕри наличии р€да результатов наблюдений ’1, ’2,..., ’n график функции fx может быть построен по общеизвестному правилу при помощи гистограммы. — учетом отмеченных выше свойств можно показать, что

,

и

P[x1<Xi<x2] = (1.8)

 

¬ метрологической практике встречаютс€ самые разнообразные функции распределени€, причем не всегда их можно даже представить в аналитической форме. “ем не менее все многообразие реальных функций удаетс€, как правило, аппроксимировать с удовлетворительной точностью стандартными аналитическими функци€ми, перечень которых в виде дифференциальных функций fΔст распределени€ абсо лютных погрешностей установлен √ќ—“ 8.011Ч72 и приведен в табл. 1.1.

»з всех распределений, приведенных в табл. 1.1, наиболее часто при изучении случайных погрешностей встречаетс€ нормальное распределение. ÷ентральна€ предельна€ теорема теории веро€тностей утверждает, что реальное распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному вс€кий раз результаты наблюдений формируютс€ под вли€нием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное воздействие по сравнению с суммарным воздействием всех остальных. »менно это характерно дл€ большинства видов технических измерений. Ќормальное распределение результатов наблюдений описываетс€ дифференциальной функцией:

 

, (1.9)

 

где:

х Ч математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Xi,

 

, (1.10)

 

где:

Dx Ч дисперси€, а σх Ч среднее квадратическое отклонение (— ќ) результатов наблюдений ’i относительно тх.

 

 

“абл.1.1. —тандартные аппроксимации функций распределени€

 

‘унци€ √рафик функции

f—“

 

Ќормальна€ (усеченна€)

 

–авномерна€

 

“реугольна€ (—импсона)

 

 
 


“рапециевидна€

 

 
 


јнтимодальна€ 1

 

јнтимодальна€ 2

 

 

–еле€ (усеченна€)

 

Ќа рис. 1.1 приведены графики fx, построенные по формуле (1.9) при σТx>σxТТ>σxТТТ. ¬идно, что с ростом σx увеличиваетс€ рассе€ние результатов наблюдений, т. е. веро€тность по€влени€ больших погрешностей возрастает, а малых Ч уменьшаетс€.

ƒл€ количественной оценки этой зависимости заменим в формуле (1.9):

 

(Xi-mX)/σX=t, (1.11)

 

и вычислим по формуле (1.8) веро€тность попадани€ результата наблюдени€ в интервал[x1,x2]:

 

. (1.12)

 

‘ункци€ F(t) табулирована и может использоватьс€ дл€ оценки случайных погрешностей. ќднако при этом необходимо помнить, что точное определение значений тх и σх в формуле (1.11) возможно только при большом (теоретически бесконечном) числе наблюдений.

 

 
 

 


Xi
mX

 

–ис. 1.1. √рафики нормального распределени€ при σТx>σxТТ>σxТТТ.

 

ѕрактически же число наблюдений всегда ограничено и при n<30 вместо распределени€ (1.9) необходимо пользоватьс€ распределением —тьюдента:

 

(1.13)

 

где:

√ Ч гамма-функци€.

ѕри n>30 распределение (1.13) переходит в распределение (1.9) и €вл€етс€, таким образом, более универсальным. ѕо аналогии с (1.12)

 

P[x1<Xi<x2]=2F(t,n)-1,

 

где:

F(t, n) Ч интегральна€ функци€ —тьюдента, значени€ которой также табулированы.

’от€ нормальное распределение встречаетс€ наиболее часто, каждый раз оценке случайных погрешностей должна предшествовать проверка принадлежности полученных результатов наблюдений к нормальному распределению. ѕравила такой проверки стандартизованы √ќ—“ 11.006Ч74.  онкретно при n>50 проверка производитс€ с использованием критериев  олмогорова (λn), ѕирсона ( 2) или ћизеса Ч —мирнова ( 2). ≈сли же 3<n<50, дл€ проверки использу≠етс€ специальный критерий (W).

»з других распределений, приведенных в табл. 1.1, отметим равномерное распределение, которое оказываетс€ наиболее характерным дл€ неисключенных систематических погрешностей. ’от€ систематические погрешности €вл€ютс€ детерминированными величинами (см. І 1.2), дл€ разных условий измерений (например, повторные измерени€ в другой лаборатории, другими измерительными приборами и т. п.) такие составл€ющие, как неисключенные инструментальные погрешности и погрешности определени€ поправок, необходимо рассматривать и суммировать как случайные величины. Ѕолее того, если отсутствуют данные о виде распределени€ этих случайных величин, оно принимаетс€ равномерным, поскольку систематические погрешности оцениваютс€ границами (пределами) допускаемых погрешностей, а не — ќ, как это имеет место дл€ случайных погрешностей.

¬ литературе неоднократно предпринимаютс€ попытки предложить универсальную аналитическую функцию дл€ описани€ всех симметричных распределений случайных погрешностей (табл.1.1). Ёто особенно актуально при применении Ё¬ћ дл€ обработки результатов наблюдений. ¬ качестве примера приведем дифференциальную функцию:

 

(1.14)

 

где:

Ч параметр, характеризующий крутизну спадов fx.

¬ частности, при α=1 распределение (1.14) экспоненциальное, при α= 2 оно совпадает c распределением (1.9), а при переходит в равномерное.

‘ункции распределени€, €вл€€сь универсальным способом математического описани€ случайных погрешностей, не всегда удобны дл€ практических целей и требуют предварительных тщательных экспериментальных исследований и обширных вычислительных работ. ѕоэтому в метрологической практике при оценке случайных погрешностей чаще ограничиваютс€ использованием специальных числовых характеристик функций распределени€, называемых моментами. ћоменты представл€ют собой некоторые средние значени€. ≈сли усредн€ютс€ величины, отсчитываемые от начала координат (рис. 1.1), моменты называютс€ начальными, а если от центра функции распределени€ (табл. 1.1) Ч центральными. “ак как результаты наблюдений и соответственно случайные погрешности €вл€ютс€ дискретными случайными величинами, дл€ определени€ начального момента k-го пор€дка необходимо пользоватьс€ формулой

 

(1.15)

 

а центрального момента k-го пор€дка

 

, (1.16)

 

где:

р Ч веро€тность по€влени€ значени€ Xш.≈сли рассматриваетс€ полна€ группа событий, то , т.е. можно считать рi = 1/n.

»з начальных моментов чаще всего используетс€ первый момент (k=1), который и €вл€етс€ математическим ожиданием случайной величины Xi. —огласно (1.15),

 

. (1.17)

 

»з центральных моментов особенно важную роль играет второй момент (k=2)Чдисперси€ случайной величины Xi. —огласно (1.16) и (1.10),

 

. (1.18)

 

Ќаход€т также применение третий и четвертый центральные моменты.
¬ частности, параметр позвол€ет оценить симметричность функции распределени€, а параметр , называемый эксцессом, характеризует островершинность ее. ƒл€ нормального распределени€ (1.9) s=0 и е=0. ѕоэтому нормальное распределение полностью характеризуетс€ значени€ми mх и σх.

«аканчива€ рассмотрение существующих приемов математического описани€ случайных погрешностей, подчеркнем еще раз, что дл€ точного определени€ моментов необходимо большое (теоретически бесконечное) число наблюдений. ѕрактически же число наблюдений, как уже отмечалось, всегда ограниченно, и чем сложнее эксперимент и выше его стоимость, тем оно меньше. ѕоэтому значени€ числовых характеристик функций распределени€, найденные на основании ограниченного числа наблюдений, всегда приближенные и называютс€ их точечными оценками.   точечным оценкам, обозначаемым в дальнейшем знаком Ђ^ї, предъ€вл€ютс€ требовани€ состо€тельности, несмещенности и эффективности. —осто€тельной называют оценку, котора€ приближаетс€ (сходитс€ по веро€тности) к истинному значению оцениваемой величины при n . Ќесмещенной €вл€етс€ оценка, математическое ожидание которой равно истинному значению оцениваемой величины. Ќаконец, эффективной будет та из нескольких возможных несмещенных оценок, дл€ которой x = min.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 831 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќачинать всегда стоит с того, что сеет сомнени€. © Ѕорис —тругацкий
==> читать все изречени€...

2114 - | 1885 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.023 с.