Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


«аписать преобразовани€ Ћоренца. ¬ чем состо€т лоренцово сокращение длины и эффект замедлени€ времени?




ѕусть имеютс€ инерциальные системы отсчета   и  '. Ѕезразлично, какую из них считать неподвижной, а какую движущейс€.

Ќа рисунке предполагаетс€, что движетс€ система  ', в то врем€ как система   неподвижна. — таким же правом можно считать, что неподвижна система  ', а система   движетс€ относительно нее со скоростью ЧV.

ѕредположим, что происходит какое-то событие. ¬ системе   оно характеризуетс€ значени€ми координат и времени х, у, z, t; в системе  ' Ч значени€ми

координат и времени х́ у', z', t'. Ќайдем формулы, св€зывающие нештрихованные значени€ со штрихованными. »з однородности пространства и времени следует, что эти формулы должны быть линейными.

ѕри показанном направлении координатных осей плоскость у' = 0 совпадает с плоскостью y = 0, а плоскость z' = 0 совпадает с плоскостью z = 0. ќтсюда вытекает, что, например, координаты у а у' должны обращатьс€ в нуль одновременно, независимо от значений других координат и времени. Ёто возможно лишь при условии, что

где вследствие линейности уравнени€ а Ч посто€нна€ величина. ¬виду равноправности систем  , и  ' обратное преобразование должно иметь вид

с тем же значением а, что и при пр€мом преобразовании. ѕеремножив оба соотношени€, найдем, что а2 = 1, откуда а = ±1. ƒл€ одинаково направленных осей нужно вз€ть а = +1. ¬ результате находим, что

јналогичным образом получаетс€ формула

»з этих формул вытекает, что значени€ у и z не завис€т от х' и t׳, откуда следует, что значени€ х' и t' не могут зависеть от у и z׳ соответственно значени€ х и t не могут зависеть от у' и z'. Ёто означает, что х и t €вл€ютс€ линейными функци€ми только х' и V.

“очка ќ имеет координату х = 0 в системе   и х'= ЧVt' в системе  '. —ледовательно, выражение x'+Vt' должно обращатьс€ в нуль одновременно с координатой х (когда x׳+ Vt' равно нулю, х' =ЧVt'). ƒл€ этого линейное преобразование должно иметь вид

где у Ч константа.

“орчка ќ имеет координату х' = 0 в системе  ' и х=Vt в системе K. —ледовательно, выражение х - Vt должно обращатьс€ в нуль одновременно с координатой х' (когда хЧVt = 0, то x=Vt). ƒл€ этого нужно, чтобы выполн€лось соотношение.

где у Ч константа.

¬ силу равноправности систем   vt  ' коэффициент у в обоих случа€х должен быть один и тот же.

“еперь воспользуемс€ принципом посто€нства скорости света. Ќачнем отсчет времени в обеих системах с того момента, когда начала координат ќ и ќ' совпадают. ѕредположим, что в момент t = t' = 0 в направлении осей х и х' посылаетс€ световой сигнал, который производит вспышку света на экране. Ёто

событие (вспышка) характеризуетс€ в системе   координатой х и временем t, а в системе  ' Ч координатой х' и временем t', причем

(скорость с в обоих случа€х одна и та же). ѕодставив эти значени€ х и х', получим соотношени€

ѕеремножив эти соотношени€ и сократив обе части получившегос€ равенства на tt', придем к уравнению

ќтсюда

√де

ѕодстановка найденного значени€ у приводит к формулам

„тобы найти формулы преобразовани€ времени, исключим координату х и разрешим получившеес€ уравнение относительно t. «атем исключим координату х' и разрешим получившеес€ уравнение относительно t'. ¬ результате придем к формулам

Ќапишем вместе формулы подразделив их на две группы:

Ёти формулы называютс€ преобразовани€ми

Ћоренца. ѕо формулам осуществл€етс€ переход от системы  ' к системе  . ¬следствие равноправности систем преобразовани€ отличаютс€ лишь знаком перед V. Ёто отличие обусловлено тем, что система  ' движетс€ относительно системы   со скоростью V, в то врем€ как система   движетс€ относительно системы  ' со скоростью ЧV׳.

¬ преобразовани€х Ћоренца Ђперемешаныї координаты и врем€. Ќапример, врем€ t в системе   определ€етс€ не только временем t׳ в системе  ', но также и координатой х'. ¬ этом про€вл€етс€ взаимосв€зь пространства и времени.

¬ пределе при с→о преобразовани€ Ћоренца переход€т в преобразовани€ √алиле€. “аким образом, различие в течение времени в разных инерциальных системах отсчета обусловлено существованием предельной скорости распространени€ взаимодействий.

ѕри скорост€х много меньших скорости света (т. е. при υ<— 1) преобразовани€ Ћоренца практически не отличаютс€ от преобразований √алиле€. —ледовательно, преобразовани€ √алиле€ сохран€ют значение дл€ скоростей, малых по сравнению со скоростью света.

ѕри υ>с выражени€ дл€ х, t, х' и V станов€тс€ мнимыми. ¬ этом про€вл€етс€ то обсто€тельство, что движение со скорост€ми, большими с, невозможно. Ќевозможна даже система отсчета, движуща€с€ со скоростью с, потому что при V = с знаменатели формул дл€ х и t обращаютс€ в нуль.

ѕреобразовани€м Ћоренца можно придать симметричный вид, если написать их дл€ х и ct, т. е. дл€ величин одинаковой размерности. ¬ этом случае формулы преобразований выгл€д€т следующим образом:

‘ормулы дл€ х и ct, а также дл€ x׳ и ct' отличаютс€ друг от друга только перестановкой соответствующих переменных.

—равним длину стержн€ в инерциальных системах отсчета   и  ' (рис. 47.2). ѕредположим, что стержень, располо- женный вдоль совпадающих осей х и х', покоитс€ в

системе  '. “огда определение его длины в этой си-

стеме не доставл€ет хлопот. Ќужно приложить к

стержню масштабную линейку и определить коорди-

нату х1׳ одного конца стержн€, а затем координату

х2׳ другого конца. –азность координат даст длину

стержн€ l 0 в системе  ':

¬ системе   дело обстоит сложнее. ќтносительно

этой системы стержень движетс€ со скоростью υ, равной скорости V, с которой система  ' движетс€ относительно системы  . ѕоскольку стержень движетс€, нужно произвести одновременный отсчет координат его концов x1 и x2 в некоторый момент времени t. –азность координат даст длину стержн€ l в системе  :

ƒл€ сопоставлени€ длин l и l 0 нужно вз€ть ту из

формул преобразований Ћоренца, котора€ св€зывает

координаты х, х' и врем€ t системы  ,. ѕодстановка в нее значений координат и времени приводит к выражени€м

ќтсюда

«аменив разности координат длинами стержн€, а

относительную скорость V систем   и  ' равной ей

скоростью стержн€ υ, с которой он движетс€ в системе  , придем к формуле

“аким образом, длина движущегос€ стержн€ ока-

зываетс€ меньше той, которой обладает стержень в

состо€нии поко€. јналогичный эффект наблюдаетс€

дл€ тел любой формы: в направлении движени€ линейные размеры тела сокращаютс€ тем больше, чем больше скорость движени€. Ёто €вление называетс€ Ћоренцевым (или фицджеральдовым) сокращением. ѕоперечные размеры тела не измен€ютс€. ¬ результате, например, шар принимает форму эллипсоида, сплющенного в направлении движени€. ћожно показать, что зрительно этот эллипсоид будет восприниматьс€ в виде шара. Ёто объ€сн€етс€ искажением зрительного воспри€ти€ движущихс€ предметов, вызванным неодинаковостью времен, которые затрачивает свет на прохождение пути от различно удаленных точек предмета до глаза. »скажение зрительного воспри€ти€ приводит к тому, что движущийс€ шар воспринимаетс€ глазом как эллипсоид, выт€нутый в направлении движени€. ќказываетс€, что изменение формы, обусловленное лоренцевым сокращением, в точности компенсируетс€ искажением зрительного воспри€ти€.

ѕромежуток времени между событи€ми. ѕусть в

системе  ' в одной и той же точке с координатой х'

происход€т в моменты времени t'1 и t2 два каких-то

событи€. Ёто могут быть, например, рождение элементарной частицы и ее последующий распад. ¬ системе  ' эти событи€ разделены промежутком времени

Ќайдем промежуток времени Δt между событи€ми в

системе  , относительно которой система  ' движет-

с€ со скоростью V. ƒл€ этого определим в системе  

моменты времени t1 и t2, соответствующие моментам

t1׳ к t'2, и образуем их разность:

' ƒл€ сопоставлени€ времен t и t' нужно вз€ть ту из формул преобразований Ћоренца, котора€ св€зывает t, t' и координату х' системы  '. ѕодстановка в нее значений координаты и моментов времени приводит к выражени€м,

ќтсюда

≈сли событи€ происход€т с одной и той же частицей, поко€щейс€ в системе  ', то Δt' = t׳2 Чt׳1

представл€ет собой промежуток времени, измеренный по часам, неподвижным относительно частицы и движущимс€ вместе с ней относительно системы   со скоростью v, равной V. ¬рем€, отсчитанное по часам, движущимс€ вместе с телом, называетс€ собственным временем этого тела и обычно обозначаетс€ буквой т. —ледовательно, Δt' = Δτ. ¬еличина Δt = t2 Чt1 представл€ет собой промежуток времени между теми же событи€ми, измеренный по часам системы  , относительно

которой частица (вместе со своими часами) движетс€ со скоростью v. — учетом сказанного формулу можно представить в виде

»з полученной формулы следует, что собственное

врем€ меньше времени, отсчитанного по часам, движущимс€ относительно тела (очевидно, что часы, неподвижные в системе  , движутс€ относительно частицы со скоростью Чv).

¬ какой бы системе отсчета не рассматривалось

движение частицы, промежуток собственного времени измер€етс€ по часам системы, в которой частица покоитс€. ќтсюда следует, что промежуток собственного времени €вл€етс€ инвариантом, т. е.величиной, имеющей одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета.

— точки зрени€ наблюдател€, Ђживущегої в системе  , Δt есть промежуток времени между событи€ми, измеренный по неподвижным часам, а Δτ Чпромежуток времени, измеренный по часам, движущимс€ со скоростью v. ѕоскольку Δτ < Δt, можно сказать, что движущиес€ часы идут

медленнее, чем поко€щиес€ часы.

¬ составе космического излучени€ имеютс€ рождающиес€ на высоте 20Ч30 км нестабильные частицы, называемые мюонами. ќни распадаютс€ на электрон (или позитрон) и два нейтрона

—обственное врем€ жизни мюонов (т. е. врем€ жизни, измеренное в системе, в которой они неподвижны) составл€ет в среднем примерно 2 мкс.  азалось бы, что даже двига€сь со скоростью, очень мало отличающейс€ от с, они могут пройти лишь путь, равный 600 м. ќднако, как показывают измерени€, они успевают в значительном количестве достигнуть земной поверхности. Ёто объ€сн€етс€ тем, что мюоны движутс€ со скоростью, близкой к с. ѕоэтому их врем€ жизни, отсчитанное по часам, неподвижным относительно «емли, оказываетс€ значительно большим, чем собственное врем€ жизни этих' частиц —ледовательно, не удивительно, что экспериментатор наблюдает пробег мюонов, значительно превышающий 600 м. ƒл€ наблюдател€, движущегос€ вместе с мюонами, рассто€ние до поверхности «емли сокращаетс€ до 600 м поэтому мюоны успевают пролететь рассто€ние за 2 мкс.

 

3.„то такое пространство ћинковского?  ака€ физическа€ величина называетс€ интервалом? ѕоказать что интервал €вл€етс€ инвариантом.

»нтервал

¬ обычном пространстве рассто€ние Δ l между

двум€ точками с координатами x1, y1, z1 и х2, y2, z2 определ€етс€ выражением

где Δх = х2Чx1 и т. д. Ёто рассто€ние не зависит от выбора системы координат, т. е. €вл€етс€ инвариантом. ѕри переходе к другой координатной системе измен€ютс€ величины Δх, Δу и Δz, однако эти изменени€ таковы, что рассто€ние Δ l остаетс€ одним и тем же.

 азалось бы, что рассто€ние (или, как прин€то

говорить, интервал) между двум€ мировыми точками в четырехмерном пространстве-времени должно определ€тьс€ аналогичным выражением

где Δt = t2Чt1 и т. д. ќднако это выражение непригодно в качестве интервала, поскольку оно не €вл€етс€ инвариантом Ч при переходе к другой инерциальной системе отсчета числовое значение этого выражени€ измен€етс€.

»нвариантным €вл€етс€ выражение

которое называют интервалом между событи€ми.

¬еличина Δs €вл€етс€ аналогом рассто€ни€ Δ l между, точками в обычном пространстве.

¬ обычном пространстве справедлива евклидова геометри€, вследствие чего его называют евклидовым.  ачественное различие между временем и пространством приводит к тому, что в выражение дл€ интервала квадрат временной координаты и квадраты пространственных координат вход€т с разными знаками.

¬ыражение можно написать в виде

где Δ l Ч рассто€ние между точками обычного пространства, в которых произошли данные событи€.

ƒопустим, что рассматриваютс€ событи€, происход€щие с одной и той же частицей. “огда отношение Δ l/Δt дает скорость частицы υ. ѕоэтому, вынес€ из-под корн€ cΔt, получим, что

¬ыражение Δt равно Δτ промежутку собственного времени частицы между событи€ми. “аким образом, мы приходим к соотoшению

ѕоскольку с Ч константа, а ΔτЧ инвариант, интервал Δs также оказываетс€ инвариантом.

”бедимс€ в инвариантности интервала еще одним способом.  вадрат интервала в системе   определ€етс€ выражением

¬ системе  ' квадрат интервала между теми же событи€ми равен

ѕодстановка этих значений дает

(напомним, что β = V/c). “аким образом, инвариантность интервала доказана.

¬ отличие от рассто€ни€ Δ l, квадрат которого

всегда положителен (а само Δ l вещественно), квадрат интервала может быть положительным (если сΔt>Δ l), либо отрицательным (если сΔt<Δ l). либо равным нулю (если сΔt=Δ l). ѕоследний случай имеет место дл€ событий, заключающихс€ в испускании светового сигнала из одной мировой точки и приходе его в другую, мировую точку (за врем€ Δt световой сигнал проходит в вакууме путь Δ l = cΔ t). —оответственно интервал Δs может быть вещественным (если Δs2>0), мнимым (если Δs2< 0) и равным нулю (дл€ светового сигнала).

¬следствие инвариантности интервал будет вещественным, либо мнимым, либо равным нулю во всех инерциальных системах отсчета.

ƒл€ вещественного интервала

ќтсюда следует, что существует така€ система  ', в которой Δ =0, т. е. событи€, разделенные вещественным интервалом, могут быть пространственно совмещенными. ќднако не существует системы, в которой Δ ' = 0 (при таком значении Δt' интервал стал бы мнимым). “аким образом, событи€, разделенные вещественным интервалом, ни в какой системе отсчета не могут быть одновременными. ¬ соответствии с этим вещественные интервалы называютс€ времениподобными.

ƒл€ мнимого интервала

—ледовательно, существует така€ система  ', в которой Δ t ' = 0, т. е. событи€ оказываютс€ одновременными. ќднако не существует системы, в которой Δ = 0 (при таком значении Δ l ' интервал стал бы вещественным). “аким образом, событи€, разделенные мнимым интервалом, ни в какой системе отсчета не могут оказатьс€ пространственно совмещенными,

¬ соответствии с этим мнимые интервалы называютс€ пространственноподобными.

–ассто€ние Δt между точками, в которых происход€т событи€, разделенные пространственноподобным интервалом, превышает cΔt. ѕоэтому такие событи€

не могут воздействовать друг на друга и, следовательно, не могут быть причинно св€занными друг с другом (не существует воздействий, распростран€ющихс€ со скоростью, большей с). ѕричинно св€занные событи€ могут быть разделены только времениподобным или нулевым интервалом.

ƒл€ событи€-причины и событи€-следстви€

—огласно последней из формул

 

ќтсюда

ѕоскольку

отношение не превышает с; V<с.

ѕоэтому, независимо от знака Δх;, права€ часть равенства больше нул€ и, следовательно, Δt' и Δt имеют одинаковые знаки. Ёто означает, что событие-причина во всех системах отсчета происходит раньше событи€-следстви€.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 715 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—лабые люди всю жизнь стараютс€ быть не хуже других. —ильным во что бы то ни стало нужно стать лучше всех. © Ѕорис јкунин
==> читать все изречени€...

2003 - | 1937 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.049 с.