1) Трёхмерное пространство
Хорошо известно, что наше пространство трёхмерное, т.е. для обозначения местоположения точки достаточно указать 3 координаты: точки x, y, z.??? координаты удобно обозначать одной и той же буквой, но с различными индексами: 
. Величины 
являются компонентами радиус-вектора 
,проведенного из начала координат в рассматриваемую точку. Обозначим единичные векторы, нап-равленные вдоль осей 
через 
. Тогда
(1)
Пусть имеется другая система координат, начало которой сов-падает с рассматриваемой, но оси не совпадают. Для этой системы
(2)
В силу ортогональности система координат имеет соотношение
0, при 
; 1, при 
(3)
Умножая скалярно обе части (1) на 
, получим с учётом (3) следующее соотношение для компонент 
:
(4)
На основании (1) и (2) можно записать
(5)
Умножая обе части на 
и учитывая (3), запишем
{(3):слева не равны 0 толь-
ко компоненты с 
,т.е.}= 
(6)
2,2
Введём обозначения для скалярных произведений единичных векторов различных систем координат:
(7)
Тогда (6) можно записать
(8)
Обратное преобразование получится умножением (5) на . Тогда
.
Или с учетом (7):
Таким образом, компоненты радиус-вектора преобразуются при переходе от одной СК к другой по формуле (8),т.е.:
,
,
То совокупность этих трех величин называются трехмерным вектором, а сами величины 
называются компонентами вектора по соответствующим осям координат 
.
Из (1) и (2) с учетом (3) следует:
,
Т.е. при преобразованиях сохраняется величина вектора R.
2) Четырехмерный мир
Для полной характеристики события недостаточно указать пространственные координаты этого события, а также указать и время, т.е. событие описывается 4 координатами: x, y, z, t.
Для того, чтобы переход из одной СК в другую описывался (8), удобно в качестве координат использовать:
Тогда преобразование Лоренца запишется в виде:
Т.о., это преобразование примет вид:
(9)
Где коэффициенты
Обратные преобразования аналогично (8) записывают след. образом:
Т.о., в 4-хмерном мире переход от координат мировой точки одной системы отсчета к координатам другой осуществляется с помощью линейных преобразований.
