Заняття 1. Тема: Похідна функції. Основні поняття
Лекции.Орг

Поиск:


Заняття 1. Тема: Похідна функції. Основні поняття




Тема: Похідна функції. Основні поняття.

Означення. Похідною функції у = f(х) називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля:

у′ = .

Знаходження похідної називають диференціюванням функції.

Похідну функції позначають y′ або , або f′(x).

Властивості (правила знаходження) похідної:

1) (Cu)′ = Cu′ ;

2) (u+v-w)′ = u′+v′-w′ ;

3) (uv)′ = u′v+uv′ ;

4)

Таблиця похідних основних елементарних функцій :

 

1) (С)′ = 0 , (С = const);

2) (х)′ = 1;

3)

4) ;

5) ;

6) ;

7) ()′ = ;

8) ;

9) ;

10) ()′ = ;

11) ()′ = - ;

12) (tg x)′ = ;

13) (ctg x)′ = - ;

14) (arctg x)′ = ;

15) (arcctg x)′ = - ;

16) (arcsin x)′ = ;

17) (arccos x)′ = - .

 

Приклади:

Знайти похідні функцій:

1) у = 4х5 + - 8 -16;

у = 4х5 + - 8-16 = 4х5 + х-6 - 8- 16;

у′ = 4х5-1 + (-6х-6-1) - 8= 20х4 – х-7 - 6= 20х4 - - ;

 

2) у = (х3 – 2х – 11) ;

у ′ = (х3 – 2х – 11)′+ (х3 – 2х -11)= (3х2 – 2)+

3 - 2х – 11)= (3х2 -2) arctg x + ;

 

3) у = ;

 

у′ = = =

 

= = .

 

Завдання для роботи в аудиторії:

Знайти похідну функції:

 

1)

2) y = 2х3 _ 2 + 7х - 12;

3) y = х - х2 + х3 - х4;

4) y =2 - + 8;

5) y = 6 + 5 - 7 ;

6) y = tgx – ctgx ;

7) y = + - ;

8) y = (х2 – 2х + 6) ;

9) y = (8х5 – 3х + х4) ;

10) y = ;

11) y = ;

12) y =( - ;

 

13) у = ;

14) у = ;

15) у = x2 ;

16) у = х arctg х .

17) у = arctg x ;

18) у = ;

19) у = ;

20) у = ;

21) у = х3 ( - 4) .

 

Домашнє завдання:

Знайти похідні функцій:

 

1)

2) у = х4 – 4х6 + 9х5 + 2х7 – 2х – 42 ;

3) у = - + ;

4) у = 15 - 3 + + ;

5) у = - - + 0,75 ;

6) у = ;

7) у = (х2 – 3х + 3)(х2 +2х – 1) ;

8) у = ;

9) у = ;

10) у = ;

11) у = (2х3 + 3) arccosx .

Заняття 2

Тема: Похідна складної функції.

Якщо у = f(u) і u = (х) – диференційовані функції своїх аргументів, то похідна функції від функції (або складної функції) у = f( (x)) існує і дорівнює добутку похідної даної функції у по аргументу (х) і похідної (х) по х: у′=f′( (х)) ′(х).

Таблиця похідних складних функцій:

 

 

1) (un)′ = nun-1 u;

2) (′ = - ;

3) ()′ = ;

4) ()′ = ;

5) ()′ = ;

6) )′ = ;

7) )′ = ;

8) )′ = - u′ ;

9) (tg u)′ =

10) ctg u)′ = - ;

11) (arcsin u)′ = ;

12) (arccos u)′ = - ;

13) (arctg u)′ = ;

14) (arcctg u)′ = - .

 

Приклад:

Знайти похідну функції у = ;

у ′ = - = - - (10х – 3) = - .

 

Завдання для роботи в аудиторії:

 

Знайти похідні функцій:

 

1)

2) у = ;

3) у = ;

4) у = ;

5) у = ;

6) у = ( )2;

7) у = (2х3 + 3х2 + 6х +1)4 ;

8) у = ;

9) у = (7 + )3 ;

10) у = ) ;

11) у = ;

12) у = ( + ()2)3 ;

13) у = ;

14) у = ;

15) у = ;

16) у = ()5 ;

17) y = ( – )4;

18) y = ;

19) y = ( + ))6 ;

20) y = - ;

21) y=

22)

 

Домашнє завдання:

Знайти похідні функцій:

 

1)

2) у = (2 – 3х)5 ;

3) у = ()2 ;

4) у = ;

5) у = ;

6) у = ;

7) у = ;

8) у = ( - )5 ;

9) у = ;

10) у = х + + ;

11) у = .

 

 

Заняття 3

Тема: Похідні неявних функцій і функцій,заданих параметрично.

Похідна функції у = .

Функція у(х) називається неявною, якщо залежність між х і у виражена рівнянням F(х;у) = 0. Щоб знайти похідну від неявної функції, треба дане рівняння продиференціювати, вважаючи у функцією від х, і отримане після цього рівняння розв’язати відносно похідної у ′.

Приклад:

Знайти похідну функції х2у3 - + 3 = 0.

2ху3 + 2х2у2у ′ - 2= 0 ;

2у2у ′ = 2- 2ху3 ;

у′ = = ;

 

Якщо функція задана параметрично:, де х(t) і у(t) –

диференційовані функції,то її похідна: у′(х) = .

Приклад:

Знайти похідну функції

х ′(t) = , у′(t) = 3 - 3 t2 = 3(1 – t2) ;

у′(х) = = 3(1 – t2).

 

Похідна степенево-показникової функції у = , де u і v – диференційовані функції від х, знаходиться за формулою:

у′ = vu′ +

Приклад:

Знайти похідну функції у = .

у′ = (-) + = )+ +) = (– tg х).

Завдання для роботи в аудиторії:

Знайти похідні функцій:

1)

2) х2 + 5ху + у2 – 7 = 0;

3) у2 + ху + = 0;

4) + ху – 5 = 0;

5) х4 + у4 = х2у2;

6) у3 + = 0;

7)

8)

9)

10)

11)

12) у = ;

13) у = ;

14) у = ;

15) у = ;

16) у = .

 

 

Домашнє завдання:

Знайти похідні функцій:

 

1)

2) х3у3 – 2ху +3 = 0;

3) – arctgу = 0;

4) 2 + tgх - = 0;

5) х = ctg t, у = ;

6)

7) у = ;

8) у = ;

9) у = ;

10) у =

 

Заняття 4





Дата добавления: 2015-05-07; просмотров: 501 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.