Означення. Похідною функції у = f(х) називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля:
у′ =.
Знаходження похідної називають диференціюванням функції.
Похідну функції позначають y′ або, або f′(x).
Властивості (правила знаходження) похідної:
1) (Cu)′ = Cu′;
2) (u+v-w)′ = u′+v′-w′;
3) (uv)′ = u′v+uv′;
4)
Таблиця похідних основних елементарних функцій:
1) (С)′ = 0, (С = const);
2) (х)′ = 1;
3)
4);
5);
6);
7) ()′ =;
8);
9);
10) ()′ =;
11) ()′ = -;
12) (tg x)′ =;
13) (ctg x)′ = -;
14) (arctg x)′ =;
15) (arcctg x)′ = -;
16) (arcsin x)′ =;
17) (arccos x)′ = -.
Приклади:
Знайти похідні функцій:
1) у = 4х5 + - 8 -16;
у = 4х5 + - 8-16 = 4х5 + х-6 - 8- 16;
у′ = 4х5-1 + (-6х-6-1) - 8= 20х4 – х-7 - 6= 20х4 - -;
2) у = (х3 – 2х – 11);
у ′ = (х3 – 2х – 11)′+ (х3 – 2х -11)= (3х2 – 2)+
(х3 - 2х – 11)= (3х2 -2) arctg x +;
3) у =;
у′ = = =
= =.
Завдання для роботи в аудиторії:
Знайти похідну функції:
1)
2) y = 2х3 _ 5х2 + 7х - 12;
3) y = х - х2 + х3 - х4;
4) y =2 - + 8;
5) y = 6 + 5 - 7;
6) y = tgx – ctgx;
7) y = + -;
8) y = (х2 – 2х + 6);
9) y = (8х5 – 3х + х4);
10) y =;
11) y =;
12) y =(-;
13) у =;
14) у =;
15) у = x2 ;
16) у = х arctg х.
17) у = arctg x;
18) у =;
19) у =;
20) у =;
21) у = х3 (- 4).
Домашнє завдання:
Знайти похідні функцій:
1)
2) у = х4 – 4х6 + 9х5 + 2х7 – 2х – 42;
3) у = - +;
4) у = 15 - 3 + +;
5) у = - - + 0,75;
6) у =;
7) у = (х2 – 3х + 3)(х2 +2х – 1);
8) у =;
9) у =;
10) у =;
11) у = (2х3 + 3) arccosx.
Заняття 2
Тема: Похідна складної функції.
Якщо у = f(u) і u = (х) – диференційовані функції своїх аргументів, то похідна функції від функції (або складної функції) у = f((x)) існує і дорівнює добутку похідної даної функції у по аргументу (х) і похідної (х) по х: у′=f′((х)) ′(х).
Таблиця похідних складних функцій:
1) (un)′ = nun-1 u;
2) (′ = -;
3) ()′ =;
4) ()′ =;
5) ()′ =;
6))′ =;
7))′ =;
8))′ = - u′;
9) (tg u)′ =
10) ctg u)′ = -;
11) (arcsin u)′ =;
12) (arccos u)′ = -;
13) (arctg u)′ =;
14) (arcctg u)′ = -.
Приклад:
Знайти похідну функції у =;
у ′ = - = - - (10х – 3) = -.
Завдання для роботи в аудиторії:
Знайти похідні функцій:
1)
2) у =;
3) у =;
4) у =;
5) у =;
6) у = ()2;
7) у = (2х3 + 3х2 + 6х +1)4;
8) у =;
9) у = (7 +)3;
10) у =);
11) у =;
12) у = (+ ()2)3;
13) у =;
14) у =;
15) у =;
16) у = ()5;
17) y = (–)4;
18) y =;
19) y = (+))6;
20) y = -;
21) y=
22)
Домашнє завдання:
Знайти похідні функцій:
1)
2) у = (2 – 3х)5;
3) у = ()2;
4) у =;
5) у =;
6) у =;
7) у =;
8) у = (-)5;
9) у =;
10) у = х + +;
11) у =.
Заняття 3
Тема: Похідні неявних функцій і функцій,заданих параметрично.
Похідна функції у =.
Функція у(х) називається неявною, якщо залежність між х і у виражена рівнянням F(х;у) = 0. Щоб знайти похідну від неявної функції, треба дане рівняння продиференціювати, вважаючи у функцією від х, і отримане після цього рівняння розв’язати відносно похідної у ′.
Приклад:
Знайти похідну функції х2у3 - + 3 = 0.
2ху3 + 2х2у2у ′ - 2= 0;
2х2у2у ′ = 2- 2ху3;
у′ = =;
Якщо функція задана параметрично:, де х(t) і у(t) –
диференційовані функції,то її похідна: у′(х) =.
Приклад:
Знайти похідну функції
х ′(t) =, у′(t) = 3 - 3 t2 = 3(1 – t2);
у′(х) = = 3(1 – t2).
Похідна степенево-показникової функції у =, де u і v – диференційовані функції від х, знаходиться за формулою:
у′ = vu′ +
Приклад:
Знайти похідну функції у =.
у′ = (-) + =)+ +) = (– tg х).
Завдання для роботи в аудиторії:
Знайти похідні функцій:
1)
2) х2 + 5ху + у2 – 7 = 0;
3) у2 + ху + = 0;
4) + ху – 5 = 0;
5) х4 + у4 = х2у2;
6) у3 + = 0;
7)
8)
9)
10)
11)
12) у =;
13) у =;
14) у =;
15) у =;
16) у =.
Домашнє завдання:
Знайти похідні функцій:
1)
2) х3у3 – 2ху +3 = 0;
3) – arctgу = 0;
4) 2 + tgх - = 0;
5) х = ctg t, у =;
6)
7) у =;
8) у =;
9) у =;
10) у =
Заняття 4
