Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


“ема: «астосуванн€ теор≥њ екстремум≥в дл€ розвТ€зуванн€ задач




 

«агальна схема розвТ€зуванн€ таких задач пол€гаЇ в тому, що встановлюЇтьс€ залежн≥сть величини, про €ку йдетьс€ в умов≥ задач≥ у в≥д де€коњ незалежноњ величини х (позначенн€ можуть бути ≥ ≥нш≥). ≤з умови задач≥ встановлюЇтьс€ пром≥жок, в €кому може зм≥нюватись аргумент х. ѕ≥сл€ того, €к величина у представлена, €к функц≥€ в≥д аргументу х, до нењ застосовуЇтьс€ теор≥€ екстремум≥в.

 

ѕриклад 1: ѕроволокою довжиною 20м потр≥бно обгородити клумбу, €ка маЇ форму кругового сектора. яким повинен бути рад≥ус круга, щоб площа клумби була найб≥льшою?

–озвТ€занн€. ѕозначимо рад≥ус круга через х, а довжину дуги сектора Ц через L. ѕлоща кругового сектора S = xL. ¬еличина S залежить в≥д двох зм≥нних х ≥ L. ¬иразимо L через х (можна ≥ навпаки). «а умовою задач≥ периметр кругового сектора дор≥внюЇ 20м, тобто 2х + L = 20 (р≥вн€нн€ звТ€зку), зв≥дси L = 2(10 Ц х).

ќтже, S(х) = х(10 Ц х).

ƒл€ зм≥нноњ х можлив≥ значенн€ належать пром≥жку (0; 10).

ќтриману функц≥ю потр≥бно досл≥дити на максимум: S(х)max.

S′(х) = 10 Ц 2х, 10 Ц 2х = 0, х = 5.

S′′(х) = -2, S′′(5) = -2 0.

ќтже, при значенн≥ х = 5 функц≥€ отримуЇ максимальне значенн€.

¬≥дпов≥дь: треба вз€ти рад≥ус, р≥вний 5м.

 

ѕриклад 2. Ѕак цил≥ндричноњ форми повинен вм≥щати V л води. якими повинн≥ бути його розм≥ри, щоб площа поверхн≥ (без кришки) була найменшою?

–озвТ€занн€. ќбТЇм цил≥ндра V =(р≥вн€нн€ звТ€зку), де х Ц рад≥ус основи цил≥ндра, - його висота.

ѕлоща поверхн≥ цил≥ндра S = + 2х(функц≥€,€ку потр≥бно досл≥дити на м≥н≥мум).

≤з першого р≥вн€нн€ виражаЇмо =. ѕ≥дставивши це й вираз у друге р≥вн€нн€, отримаЇмо: S(х) = +; S(х)min.

S′(х) = 2-; 2- = 0, х =;

S′′(х) = 2+; S′′() 0, тобто в точц≥ х = функц≥€ S(х) маЇ м≥н≥мум.

якщо рад≥ус цил≥ндра х =, то його висота = =.

¬≥дпов≥дь: площа поверхн≥ цил≥ндра буде найменшою, €кщо його рад≥ус основи ≥ висота будуть р≥вн≥ м≥ж собою ≥ р≥вн≥.

«авданн€ дл€ роботи в аудитор≥њ:

1) –озкласти число 12 на два доданки так, щоб сума њх куб≥в була найменшою.

2) ¬ трикутник з основою = 20 см ≥ висотою = 12 см вписаний пр€мокутник найб≥льшоњ площ≥. ќбчислити його площу.

3) ≤з пр€мокутного куска бл€хи шириною 30 см потр≥бно виготовити в≥дкритий зверху жолоб, поперечний перер≥з €кого маЇ форму р≥вноб≥чноњ трапец≥њ. ƒно жолоба повинно мати ширину 10 см. яким повинен бути кут,що утворюють ст≥нки жолоба з дном, щоб в≥н пом≥щав найб≥льшу к≥льк≥сть води?

4) ѕалатка обТЇмом V маЇ форму пр€мого кругового конуса. яким повинно бути в≥дношенн€ висоти конуса до рад≥уса основи, щоб на його виготовленн€ п≥шла найменша к≥льк≥сть матер≥алу?

5) ¬ конус, рад≥ус €кого дор≥внюЇ R, а висота H потр≥бно вписати цил≥ндр найб≥льшого обТЇму.

6) «найти найменшу в≥дстань в≥д точки ¬(0; 3) до кола х2 + у2 = 4.

7) √еометричне т≥ло €вл€Ї собою пр€мий круговий цил≥ндр з п≥вкулею зверху. ѕри €ких л≥н≥йних розм≥рах це т≥ло буде мати найменшу повну поверхню, €кщо його обТЇм дор≥внюЇ 216 см3.

8) ѕотр≥бно побудувати пр€мокутну площадку б≥л€ камТ€ноњ ст≥ни так, щоб з трьох стор≥н вона була обгороджена дрот€ною с≥ткою, а четвертою стороною прил€гала до ст≥ни. ƒл€ цього Ї 24 погонних метри с≥тки. ѕри €кому сп≥вв≥дношенн≥ стор≥н площадка буде мати найб≥льшу площу?

9) ѕерер≥з тунелю маЇ форму пр€мокутника,€кий завершуЇтьс€ п≥вкругом. ѕериметр тунелю – = 35,7м. ѕри €кому рад≥ус≥ п≥вкруга площа перер≥зу буде найб≥льшою?

10) «найти висоту конуса найб≥льшого обТЇму, €кий можна вписати в кулю рад≥уса R.

 

ƒомашнЇ завданн€:

1) „исло 36 подати у вигл€д≥ двох додатних множник≥в так, щоб њх сума була найменшою.

2) ≤з пр€мокутного листа картону розм≥ром 249 см потр≥бно виготовити в≥дкриту зверху коробку, вир≥заючи в кутах листа р≥вн≥ квадратики ≥ загинаючи утворен≥ б≥чн≥ смужки п≥д пр€мим кутом. якими повинн≥ бути сторони квадратик≥в, щоб обТЇм коробки був найб≥льшим?

3) –≥внобедрений трикутник, вписаний в коло рад≥уса R = 3 см обертаЇтьс€ навколо основи. «найти висоту трикутника, при €к≥й отримане т≥ло обертанн€ маЇ найб≥льший обТЇм.

4) ¬ пр€мокутн≥й систем≥ координат через точку ћ(2; 3) проведена пр€ма, €ка разом з ос€ми координат утворюЇ трикутник, розм≥щений в першому квадрант≥. якими повинн≥ бути в≥др≥зки, €к≥ в≥дтинаЇ пр€ма на ос€х, щоб площа трикутника була найменшою?

5) ѕотр≥бно вирити €му кон≥чноњ форми з тв≥рною b = 3м. ѕри €к≥й глибин≥ обТЇм €ми буде найб≥льшим?





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1545 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќачинать всегда стоит с того, что сеет сомнени€. © Ѕорис —тругацкий
==> читать все изречени€...

1966 - | 1778 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.008 с.