Тема: Застосування теорії екстремумів для розв’язування задач

 

Загальна схема розв’язування таких задач полягає в тому, що встановлюється залежність величини, про яку йдеться в умові задачі у від деякої незалежної величини х (позначення можуть бути і інші). Із умови задачі встановлюється проміжок, в якому може змінюватись аргумент х. Після того, як величина у представлена, як функція від аргументу х, до неї застосовується теорія екстремумів.

 

Приклад 1: Проволокою довжиною 20м потрібно обгородити клумбу, яка має форму кругового сектора. Яким повинен бути радіус круга, щоб площа клумби була найбільшою?

Розв’язання. Позначимо радіус круга через х, а довжину дуги сектора – через L. Площа кругового сектора S = xL. Величина S залежить від двох змінних х і L. Виразимо L через х (можна і навпаки). За умовою задачі периметр кругового сектора дорівнює 20м, тобто 2х + L = 20 (рівняння зв’язку), звідси L = 2(10 – х).

Отже, S(х) = х(10 – х).

Для змінної х можливі значення належать проміжку (0; 10).

Отриману функцію потрібно дослідити на максимум: S(х)max.

S′(х) = 10 – 2х, 10 – 2х = 0, х = 5.

S′′(х) = -2, S′′(5) = -2 0.

Отже, при значенні х = 5 функція отримує максимальне значення.

Відповідь: треба взяти радіус, рівний 5м.

 

Приклад 2. Бак циліндричної форми повинен вміщати V л води. Якими повинні бути його розміри, щоб площа поверхні (без кришки) була найменшою?

Розв’язання. Об’єм циліндра V =(рівняння зв’язку), де х – радіус основи циліндра, - його висота.

Площа поверхні циліндра S = + 2х(функція,яку потрібно дослідити на мінімум).

Із першого рівняння виражаємо =. Підставивши це й вираз у друге рівняння, отримаємо: S(х) = +; S(х)min.

S′(х) = 2-; 2- = 0, х =;

S′′(х) = 2+; S′′() 0, тобто в точці х = функція S(х) має мінімум.

Якщо радіус циліндра х =, то його висота = =.

Відповідь: площа поверхні циліндра буде найменшою, якщо його радіус основи і висота будуть рівні між собою і рівні.

Завдання для роботи в аудиторії:

1) Розкласти число 12 на два доданки так, щоб сума їх кубів була найменшою.

2) В трикутник з основою = 20 см і висотою = 12 см вписаний прямокутник найбільшої площі. Обчислити його площу.

3) Із прямокутного куска бляхи шириною 30 см потрібно виготовити відкритий зверху жолоб, поперечний переріз якого має форму рівнобічної трапеції. Дно жолоба повинно мати ширину 10 см. Яким повинен бути кут,що утворюють стінки жолоба з дном, щоб він поміщав найбільшу кількість води?

4) Палатка об’ємом V має форму прямого кругового конуса. Яким повинно бути відношення висоти конуса до радіуса основи, щоб на його виготовлення пішла найменша кількість матеріалу?

5) В конус, радіус якого дорівнює R, а висота H потрібно вписати циліндр найбільшого об’єму.

6) Знайти найменшу відстань від точки В(0; 3) до кола х² + у² = 4.

7) Геометричне тіло являє собою прямий круговий циліндр з півкулею зверху. При яких лінійних розмірах це тіло буде мати найменшу повну поверхню, якщо його об’єм дорівнює 216 см³.

8) Потрібно побудувати прямокутну площадку біля кам’яної стіни так, щоб з трьох сторін вона була обгороджена дротяною сіткою, а четвертою стороною прилягала до стіни. Для цього є 24 погонних метри сітки. При якому співвідношенні сторін площадка буде мати найбільшу площу?

9) Переріз тунелю має форму прямокутника,який завершується півкругом. Периметр тунелю Р = 35,7м. При якому радіусі півкруга площа перерізу буде найбільшою?

10) Знайти висоту конуса найбільшого об’єму, який можна вписати в кулю радіуса R.

 

Домашнє завдання:

1) Число 36 подати у вигляді двох додатних множників так, щоб їх сума була найменшою.

2) Із прямокутного листа картону розміром 249 см потрібно виготовити відкриту зверху коробку, вирізаючи в кутах листа рівні квадратики і загинаючи утворені бічні смужки під прямим кутом. Якими повинні бути сторони квадратиків, щоб об’єм коробки був найбільшим?

3) Рівнобедрений трикутник, вписаний в коло радіуса R = 3 см обертається навколо основи. Знайти висоту трикутника, при якій отримане тіло обертання має найбільший об’єм.

4) В прямокутній системі координат через точку М(2; 3) проведена пряма, яка разом з осями координат утворює трикутник, розміщений в першому квадранті. Якими повинні бути відрізки, які відтинає пряма на осях, щоб площа трикутника була найменшою?

5) Потрібно вирити яму конічної форми з твірною b = 3м. При якій глибині об’єм ями буде найбільшим?