Зададим функцию f(x).
Q- множество всех рациональных чисел.
Рациональные числа, как и иррациональные, плотно расположены на числовой оси: то есть между двумя любыми рациональными числами всегда найдется иррациональное и наоборот.
Зададим функцию в окрестности точки x0=0.
(так как 0 рациональное)
Пусть -любое рациональное число.
Пусть - любое иррациональное число.
Это означает, что функция f(x) не будет являться непрерывной в окрестности точки 0, посмотрим, будет ли существовать производная в этой точке.
Это означает, что производная в точке x=0 существует.
Значит, функция f(x) разрывна во всех точках, кроме x=0, а значит и в окрестности точки x=0, несмотря на то, что имеет в ней производную.
Таблица производных и свойства производных.
1. | |
2. | |
3. | |
4. | |
5. | |
6. | |
7. | |
8. | |
9. | |
10. | |
11. | |
12. | |
13. |
Пример.