Пример 1. Найти производную в точку x0

Найти производную в точку x₀.

1)

Найдем односторонние пределы:

Так как - не существует.

2)Найти производную в точке x_0.

Соответственно,

Геометрический смысл производной

Дан график функции y=f(x).

Проведем секущую через точки A(x₀,y₀) и B(x₀+Δx, y₀+Δy)

Если обозначить разность ординат этих точек через Δy, то , образованного секущей с осью Ox, можно представить следующим образом:

Если , то точка B будет стремиться по функции точки А, тогда секущая при совпадении точек А и B превращается в касательную графика функции f(x) в точке А. Обозначим через α₀ угол, образованный касательной и положительным направлением оси x:

Вывод: Следовательно, значение производной функции в любой точке x равно , касательной к графику f(x) в точке x₀ ( -угловой коэффициент).