Свободные и вынужденные колебания

Колебаниями называются процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени. В зависимости от физической природы колебательного процесса и «механизма» его возбуждения различают: механические колебания (колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, зданий, мостов и других сооружений, давления воздуха при распределении в нем звука, качка корабля, волнение моря и т. п.); электромагнитные (колебания переменного электрического тока в цепи, колебания векторов Е и В электрической напряженности и магнитной индукции переменного электромагнитного поля и т.д.); электромеханические (колебания мембраны телефона, диффузора электродинамического громкоговорителя и т.п.) и др.

Система, совершающая колебания, называется колебательной системой.

Свободными колебаниями (собственными колебаниями) называются колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия.

Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия (например, колебания силы тока в электрической цепи, вызываемые переменной ЭДС; колебания маятника, вызываемые переменной внешней силой)

Свободными колебаниями в отличие от вынужденных, протекающих под действием периодически меняющихся внешних сил.

Всем колебательным системам присущ ряд общих свойств:

1. У каждой колебательной системы есть состояние устойчивого равновесия.

2. Если колебательную систему вывести из состояния устойчивого равновесия, то появляется сила, возвращающая систему в устойчивое положение.

3. Возвратившись в устойчивое состояние, колеблющееся тело не может сразу остановиться.

 

Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая ее вынужденные механические колебания, называется вынуждающей, или возмущающей, силой.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний простейшей линейной системы-пружинного маятника,-происходящих вдоль оси 0Х под влиянием переменной внешней силы F(t):

d²x/dt²+2βdx/dt+ω²₀x=1/mF_x(t)

 

Если F_х(t)-периодическая функция времени, то после приложения этой силы к маятнику вначале возникает переходный режим вынужденных колебаний. Маятник одновременно участвует в двух колебаниях:

х= х₁(t)+ х₂(t)

 

Первый члени соответствует свободным затухающим колебаниям маятника

х₁(t)= А₀e^-βtsin(ωt+ψ₀)

 

где ω=√ω²₀-β²

 

Здесь предполагается, что β< ω₀. В противном случае свободное движение маятника будет апериодическим.

Второй член соответствует незатухающим периодическим колебаниям с частотой, равной частоте возмущающей силы F_х(t).

 

Амплитудное значение х₁(t), равное А₀e^-βt, более или менее быстро уменьшается после начала вынужденных колебаний: за время τ₀= 4,6/β амплитуда х₁(t) уменьшается в 100 раз. Следовательно, через некоторое время после начала колебаний свободные колебания маятника практически прекращаются: х(t)≈х₂(t). Маятник переходит в состояние установившихся вынужденных колебаний, совершающихся с частотой возмущающей силы.

 

Если возмущающая сила изменяется по гармоническому закону, т. е. F_х= F₀cosΩt, то установившиеся вынужденные колебания маятника также гармонические с той же частотой:

х=А cos(Ωt+φ₀)

Амплитуда этих колебаний А и сдвиг фаз φ₀ между смещением и возмущающей силой зависят от соотношения циклическими частотами вынужденных колебаний Ω и свободных незатухающих колебаний маятника ω₀:

 

А= F₀/m√(ω²₀- Ω²)²+4 β²Ω²и tgφ₀=-2 β Ω/ ω²₀-Ω²

 

При Ω=0 получим φ₀(0)=0 и А(0)=А₀= F₀/mω²₀= F₀/к - статическое смещение маятника из положения равновесия под действием постоянной силы F_х= F₀. При Ω→∞ амплитуда А(Ω)→ 0 и tgφ₀→ 0, а φ₀→ -π.

 

37 Резонанс