Применение производной для упрощения алгебраических и тригонометрических выражений

Прием использования производной для преобразования алгебраических и тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного выражения:

Задача 1 Упростить выражение:

Решение: Обозначив данное выражение будем иметь:

Таким образом, заданное выражение (1) равно .

Задача 2. Упростить выражение:

Решение: Обозначив это выражение через , будем иметь:

отсюда .

и при получаем:

Так что

Задача 3. Упростить запись функции:

(2)

Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться производной:

Отсюда

Найдём :

Таким образом функция (2) равна

Задача 4. Упростить запись многочлена:

(3)

Решение: Обозначим многочлен (3) через и найдём последовательно первую и вторую производные этой функции:

Ясно, что Поэтому , где , найдём : при , .