Применение производной в доказательстве тождеств

Доказательства тождества можно достигнуть иногда, если воспользоваться одним очевидным замечанием:

Если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной, то ее производная на этом интервале постоянно равна нулю:

на на .

Задача 1. Проверить тождество:

(1)

Доказательство: Рассмотрим функцию

Вычислим ее производную (по х):

Поэтому (замечание) . Следовательно, что равносильно тождеству (1).

Задача 2. Проверить тождество:

(2)

Доказательство: Рассмотрим функцию

Докажем, что

Найдем ее производную:

Значит
. При х=0 ,следовательно,тождество (2) верно.

В связи с рассмотренными примерами можно отметить, что при нахождении постоянной, интегрирования С полезно фиксировать значения переменной, по которой производится дифференцирование, таким образом, чтобы получить возможно более простые выкладки.