Применение производной в физике

Алгебра и биология

 

В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону P(t)=1000 + , где t – время в часах. Найдите максимальный размер этой популяции.

 

Решение.

D(P)=R

P’(t)= = =

P’(t)=0

100-t²=0

t=

 

 

P(10)=1000+ =1005

Ответ: через 10 часов популяция достигнет максимального размера 1005 бактерий.

Алгебра и физика

Составляется электрическая цепь из двух параллельно соединенных сопротивлений. При каком соотношении между этими сопротивлениями сопротивление всей цепи максимально, если при последовательном соединении этих сопротивлений оно равно R.

Решение.

Пусть сопротивление одного х, другого – у. Сопротивление всей цепи при параллельном соединении r,тогда

При последовательном х+у=R

y=R-x

Имеем

Сопротивление r-является функцией от х, х принадлежит [0;R]

F(x)=

D(f)=R

f’(x)=

f’(x)=0, x=

f(0)=0, f(R)=0, f()= при х= сопротивление всей цепи при параллельном соединении будет наибольшим

Ответ: сопротивления должны быть одинаковыми.

Применение производной в физике

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 1.

Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на высоте 4м. В некоторый момент времени лестница начинает падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2м?

Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)= 4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки.

Высота y(t) описывается формулой: ,так как движение равноускоренное.

В момент t: y(t) = 2, т.е. 2 = 4 - t², из которого ;

В этот момент по т. Пифагора, т.е.

Скорость его изменения

Ответ: