Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов
.
Тогда производная 
по направлению некоторого вектора 
равняется проекции вектора gradu на вектор .
Доказательство: Рассмотрим единичный вектор 
и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов и gradu.
Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.
Т.е. 
. Если угол между векторами gradu и обозначить через j, то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:
Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора gradu на вектор .
Теорема доказана.
Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.
С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.
