Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М(x, y, z) и точке М1(x + Dx, y + Dy, z + Dz). Проведем через точки М и М1 вектор 
. Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .
Расстояние между точками М и М1 на векторе обозначим DS.
Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:
z
M
M1
y
x
Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:
,
где величины e1, e2, e3 – бесконечно малые при 
.
Из геометрических соображений очевидно:
Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:
;
Определение: Предел 
называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора в точке с координатами (x, y, z).
Поясним значение изложенных выше равенств на примере.
Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора 
. В (3, 0).
Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .
=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 
.
Далее определяем модуль этого вектора:
= 
Находим частные производные функции z в общем виде:
Значения этих величин в точке А: 
Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования:
= 
За величину принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.
Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :
cosa = 
; cosb = -
Окончательно получаем: 
- значение производной заданной функции по направлению вектора .
