Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


”равнени€ ћаксвелла в вакууме в координатной форме в гауссовой системе единиц. —ила Ћоренца в координатной форме




Ёнерги€ электромагнитного пол€ в лабораторной системе координат €вл€етс€ положительно определенной величиной, то есть она положительна, если отлична от нул€ хот€ бы одна из компонент электромагнитного пол€ и обращаетс€ в ноль только в том случае, когда все компоненты электромагнитного пол€ равны нулю. Ётот факт используетс€ при доказательстве единственности решени€ различных задач дл€ уравнений ћаксвелла. –ассмотрим пример.

ѕусть уравнени€ ћаксвелла в лабораторном времени

, (15)

решаютс€ в области с границей , причем задано произвольное начальное условие при и одно из двух граничных условий:

(16)

где Ц единичный вектор в направлении нормали к поверхности .

—оотношение (13) может быть получено из уравнений (15) с однородной правой частью. »нтегриру€ (13) по области , пользу€сь положительной определенностью плотности энергии легко показать, что однородна€ задача имеет только тривиальное решение, что и доказывает единственность решени€ задачи (15-16) с произвольными начальными данными.

—итуаци€ измен€етс€, если необходимо исследовать единственность решени€ задачи √урса. ѕусть начальное условие задано при . ¬ыполним замену координат , в результате чего уравнени€ (15) преврат€тс€ в уравнени€ (9). ¬ектор ѕойнтинга и формулировка граничных условий не измен€тс€. Ёнерги€ преобразуетс€ к виду

ѕоложительна€ определенность такой конструкции не очевидна.

–ассмотрим ее более подробно. Ёта величина неотрицательна. ƒействительно:

.

ќпределим услови€ на и , при которых равно нулю. ѕоскольку

,

искомые услови€ имеют вид:

. (17)

«аметим, что из (17) следует, что

. (18)

ѕодставим и , удовлетвор€ющие услови€м (17) и (18), в уравнени€ ћаксвелла:

, . (19)

«аметим, что уравнени€, содержащие дивергенции, обрат€тс€ в тождества типа .

≈сли , то представимо в виде градиента скал€рной функции , причем в силу . »з того, что следует . «начит, в шаре любого радиуса с центром в точке скал€р €вл€етс€ гармонической функцией и доставл€ет решение однородной задаче Ќеймана:

. (20)

«адача (20) имеет своим решением произвольную функцию переменной , не завис€щую от переменных [5]. ¬ силу этого ее градиент, представл€ющий собой магнитное поле , равен нулю. –авенство нулю электрического пол€ следует из (17).

“аким образом, плотность энергии электромагнитного пол€ в координатах €вл€етс€ величиной, положительно определенной на решени€х уравнений ћаксвелла.

≈сли замена переменных имеет вид , необходимо дополнительно потребовать, чтобы поверхности уровн€ были компактными. ¬ частности, при замене , может быть любой гармонической функцией переменных и .

—»Ћј Ћќ–≈Ќ÷ј - сила, действующа€ на зар€женную частицу, движущуюс€ в электромагнитном поле. ‘-ла дл€ с. Ћ. была впервые получена голландским физиком X. ј. Ћоренцом как результат обобщени€ опыта и имеет вид:

 

(в ¬ƒ- системы —√—). «десь е - зар€д, V - скорость частицы, ¬ и H - векторы напр€жЄнности электрич. пол€ и магн. индукции в той же системе отсчЄта, в к-рой измер€етс€ скорость V. ѕервый член в ф-ле Fэ - сила, действующа€ на зар€женную частицу в электрич. поле, второй - в магнитном. ћагнитна€ составл€юща€ силы Ћоренца Fm пропорциональна векторному произведению Vx¬, т. е. она перпендикул€рна векторам V и ¬. —ледовательно, сила Fm не совершает механич. работы, а только искривл€ет траекторию движени€ частицы, не мен€€ еЄ энергию. ¬еличина магнитной составл€ющей

 

где альфа - угол между векторами V и ¬. “. о., Fm максимальна, если направление движени€ частицы составл€ет с направлением магнитного пол€ пр€мой угол, и равна нулю, если частица движетс€ вдоль направлени€ пол€.
¬ вакууме в посто€нном однородном магн. поле, где ¬ = Ќ, зар€женна€ частица под действием Fm движетс€ по винтовой линии с посто€нной по величине скоростью V, при этом еЄ движение складываетс€ из равномерного пр€молинейного движени€ вдоль направлени€ магн. пол€ H (со скоростью, равной составл€ющей скорости частицы V в направлении Ќ и равномерного вращательного движени€ в плоскости, перпендикул€рной Ќ (со скоростью Vn, равной составл€ющей V в направлении, перпендикул€рном Ќ).
ѕроекци€ траектории частицы на плоскость, перпендикул€рную Ќ, есть окружность радиуса r=cmVn/EH, а углова€ частота вращени€ равна

 

(т. е. циклотронна€, или гиромагнитна€ частота). ќсь винтовой линии совпадает с направлением-Ќ, и центр окружности перемещаетс€ вдоль силовой линии пол€.
ƒл€ рел€тивистских частиц с импульсом р

≈сли электрическое поле не равно нулю, то движение носит более сложный характер: наблюдаетс€ дрейф - перемещение центра вращени€ частицы перпендикул€рно полю Ќ. Ќаправление дрейфа определ€етс€ вектором ExH и не зависит от знака зар€да. —корость дрейфа и дл€ простейшего случа€ скрещенных полей ≈_|_H равна с≈/Ќ. ƒрейф про€вл€етс€ и без электрического пол€, если имеетс€ др. сила (напр., сила т€жести) или если магнитное поле неоднородно.

13. Ёлектрический диполь. ѕотенциал и поле дипол€. ƒипольное приближение дл€ системы зар€дов.

—овокупность двух равных по величине разноименных точечных зар€дов q, расположенных на некотором рассто€нии друг от друга, малом по сравнению с рассто€нием до рассматриваемой точки пол€ называетс€ электрическим диполем.(рис.13.1)

ѕроизведение называетс€ моментом дипол€. ѕр€ма€ лини€, соедин€юща€ зар€ды называетс€ осью дипол€. ќбычно момент дипол€ считаетс€ направленным по оси дипол€ в сторону положительного зар€да.

ѕрежде чем зан€тьс€ расчЄтом пол€ дипол€, остановимс€ на общих моментах. ѕусть, например, нас интересует гравитационное поле какого-то астероида неправильной формы. ѕоле в непосредственной близости от астероида можно получить только путЄм компьютерного расчЄта. Ќо, чем дальше мы отходим от астероида, тем с большей точностью мы можем рассматривать его как материальную точку (поле которой мы знаем). ѕри стремлении к большей математической строгости надо было сказать, что мы знаем асимптотическое поведение пол€ при
— похожей ситуацией мы сталкиваемс€ и в электростатическом поле. Ёлектростатическое поле по своим свойствам очень похоже на гравитационное (потому что аналогичны фундаментальные законы: закон  улона и закон всемирного т€готени€), но, если так можно сказать, Ђбогачеї его. ¬едь электрические зар€ды могут быть двух типов, между ними возможно и прит€жение, и отталкивание, а между Ђгравитационными зар€дамиї (т.е. массами) возможно только прит€жение.
Ѕудем считать, что в какой-то ограниченной области распределены положительные и отрицательные точечные зар€ды q1, q2, Е, qn. ѕолный зар€д системы
(2)
ћы уже понимаем, что при Q ≠ 0 поле при больших r переходит в поле точечного зар€да Q. Ќо возникает очень важный дл€ нас вопрос: каким будет поле на больших рассто€ни€х, если полный зар€д
Q = 0? —амое простое распределение точечных зар€дов с Q = 0 Ц это и есть диполь. ¬от почему изучение пол€ дипол€ несЄт в себе важные принципиальные моменты.
»так, нас будут в основном интересовать такие ситуации, когда все характерные размеры r весьма велики по сравнению с рассто€нием l между зар€дами дипол€. Ёту ситуацию можно описать дво€ко. ¬о-первых, мы можем всегда иметь в виду, что зар€ды расположены на конечном рассто€нии l друг от друга, и интересоватьс€ поведением полученных решений при Ќо можно и п росто говорить о точечном диполе с определЄнным дипольным моментом p, тогда все наши результаты справедливы при любом r > 0 (две эти точки зрени€, конечно, эквивалентны).
ћы будем использовать известные всем формулы дл€ полей точечных зар€дов и в полученных выражени€х учитывать, что l мало. ѕоэтому напомним формулы приближЄнных вычислений: если , то
¬езде в выкладках знак Ђ≈ї будет указывать на то, что мы воспользовались этими формулами в случае малого параметра (малый параметр в рассматриваемых задачах Ц это l/r).

¬ электростатике достаточное условие применимости дипольного приближени€ (в смысле задачи определени€ электрического потенциала или напр€женности электрического пол€, создаваемого системой зар€дов, имеющей определенный суммарный зар€д и определенный дипольный момент) описываетс€ весьма просто: хорошим это приближение €вл€етс€ дл€ областей пространства, удаленных от системы-источника на рассто€ние r, много большее, чем характерный (а лучше Ч чем максимальный) размер d самой этой системы. “аким образом, дл€ условий дипольное приближение r >> d €вл€етс€ хорошим.

≈сли суммарный зар€д системы равен нулю, а ее дипольный момент нулю не равен, дипольное приближение в своей области применимости €вл€етс€ главным приближением, то есть в его области применимости оно описывает основной вклад в электрическое поле. ќстальные же вклады при r >> d пренебрежимо малы (если только дипольный момент не оказываетс€ слишком мал по сравнению с квадрупольным, октупольным или высшими мультипольными моментами).

≈сли суммарный зар€д не равен нулю, главным становитс€ монопольное приближение (нулевое приближение, закон  улона в чистом виде), а дипольное приближение, €вл€€сь следующим, первым, приближением, может играть роль малой поправки к нему. ¬прочем, в такой ситуации эта поправка будет очень мала в сравнении с нулевым приближением, если только мы находимс€ в области пространства, где вообще говор€ само дипольное приближение €вл€етс€ хорошим. Ёто несколько снижает его ценность в данном случае (за исключением, правда, ситуаций, описанных чуть ниже), поэтому главной областью применени€ дипольного приближени€ приходитс€ признать случай нейтральных в целом систем зар€дов.

—уществуют ситуации, когда дипольное приближение €вл€етс€ хорошим (иногда очень хорошим и в каких-то случа€х даже может давать практически точное решение) и при невыполнении услови€ r >> d. ƒл€ этого нужно только чтобы высшие мультипольные моменты (начина€ с квадрупольного) обращались в ноль или очень быстро стремились к нулю. Ёто довольно легко реализуетс€ дл€ некоторых распределенных систем.

¬ дипольном приближении, если суммарный зар€д ноль, вс€ система зар€дов, какой бы она ни была, если только ее дипольный момент не ноль, эквивалентна маленькому диполю (в этом случае всегда подразумеваетс€ маленький диполь) Ч в том смысле, что она создает поле, приближенно совпадающее с полем маленького дипол€. ¬ этом смысле любую такую систему отождествл€ют с диполем и к ней могут примен€тьс€ термины диполь, поле дипол€ и т.д. ¬ статье выше, даже если это не оговорено €вно, всегда можно вместо слова диполь слова Ђнейтральна€ в целом система, имеюща€ ненулевой дипольный моментї Ч но, конечно, вообще говор€ только в случае, если подразумеваетс€ выполнение условий корректности дипольного приближени€.

¬ектор электрической индукции в диэлектрике. ћатериальное уравнение дл€ векторов электрической индукции. ƒиэлектрическа€ восприимчивость и диэлектрическа€ проницаемость вещества. Ёлектрическое поле однородного политропного диалектрического шара.

ѕол€ризационные зар€ды q' - это такие же обычные зар€ды, как и зар€ды q, и они также €вл€ютс€ источником электрического пол€. ѕоэтому теорема √аусса дл€ вектора напр€женности электрического пол€

E должна включать как сторонние, так и св€занные зар€ды:

| EdS = 4n(q + q') (2.3.1)

S

«аписыва€ теорему √аусса в дифференциальной форме, имеем:

divE = 4к(р + р'), (2.3.2)

где q - сторонний зар€д, р - плотность сторонних зар€дов, q' - св€занный зар€д и р' - плотность св€занных

зар€дов. Ёти формулы могут быть переписаны через вектор пол€ризации P, выразив св€занные зар€ды через из формул (2.2.8) и (2.2.12) в предыдущего параграфа. IB дифференциальной форме имеем:

divE = -4%divP + 4кр (2.3.3)

div(E + 4kP) = 4 кр (2.3.4)

»ли в интегральной форме получаем аналогично:

|(E + 4к–)dS = 4nq (2.3.5)

S

¬ведем новый вектор - вектор электрической индукции, или вектор электрического смещени€, с помощью следующего соотношени€:

D = E + 4к– (2.3.6)

“огда уравнени€ (2.3.4) и (2.3.5) записываютс€ в более короткой форме:

divD = 4кр

| DdS = 4щ (2-37)

S

ћы получили 1-ое уравнение системы уравнений ћаксвелла в дифференциальной и интегральной форме. ‘актически эти уравнени€ представл€ют следующее: ѕоток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность равен полному зар€ду сторонних носителей, наход€щихс€ внутри этой

поверхность. “аким образом, вектор D определ€етс€ только сторонними (свободными) зар€дами. ”равнение (2.3.7) представл€ет собой обобщение теоремы √аусса дл€ электрического пол€ в веществе.

—войства вещества сокрыты в векторе индукции электрического пол€ D, точнее, его св€зи с вектором

напр€женности электрического пол€ E. ¬ектор D €вл€етс€ искусственно введенным вектором пол€, поскольку разделение зар€дов на сторонние и св€занные зар€ды условно (см ѕримечание 2).

¬ажно, что в вакууме вектор пол€ризации равен нулю P = 0 и вектор электрической индукции

совпадает с вектором напр€женности электрического пол€ D = E.

ѕримечание 1: в системе —» дл€ вектора электрической индукции и теоремы √аусса имеем:

D = е 0 E + P

divP = -р'; divE = Ч (р + р'); divD = р

е о

ѕримечание 2. ¬ектор электрической индукции (смещени€) D, как и вектор пол€ризации P, €вл€етс€

искусственным вектором. ¬ектор D введен дл€ того, чтобы выделить вклад сторонних зар€дов в полное

электрическое поле. ¬ектор P введен дл€ того, чтобы выделить вклад св€занных зар€дов в полное электрическое поле. –еальное поле, которое действует на пробные зар€ды, - есть напр€женность

ƒл€ полного определени€ электромагнитного пол€ уравнени€ ћаксвелла необходимо дополнить материальными уравнени€ми, св€зывающими векторы и (а также и ) в веществе. ¬ вакууме эти векторы совпадают, а в веществе св€зь между ними зачастую предполагают линейной:

¬еличины образуют тензор диэлектрической проницаемости. ¬ принципе, он может зависеть как от точки внутри тела, так и от частоты колебаний электромагнитного пол€. ¬изотропных средах тензор диэлектрической проницаемости сводитс€ к скал€ру, называемому также диэлектрической проницаемостью. ћатериальные уравнени€ дл€ приобретают простой вид

¬озможны среды, дл€ которых зависимость между и €вл€етс€ нелинейной (в основном Ч сегнетоэлектрики).

¬ вакууме поле характеризуетс€ только одним вектором E - вектором напр€женности электрического пол€. ¬ веществе, чтобы определ€ть электрическое поле, действующее на пробные зар€ды, нужно еще знать

либо P, либо D. ѕоэтому полученное основное уравнение электростатики надо дополн€ть еще одним уравнением, которое могло бы св€зать между собой эти величины.

ѕринципиально возможно, зна€ атомную структуру вещества, рассчитать смещение электронов и €дер при включении внешнего электрического пол€. “.е. исход€ из знани€ атомно-молекул€рного строени€,

можно в принципе вычислить вектор пол€ризации P и получить еще одно уравнение, св€зывающее

напр€женность пол€ E внутри вещества и пол€ризацию. ќднако универсальной зависимости P от вектора

напр€женности E нет, дл€ каждого вещества эта зависимость сво€, поскольку атомы и молекулы обладают различными свойствами и по-разному реагируют на внешнее поле. “аким образом, на пути пр€мого

определени€ св€зи между векторами P и E возникают следующие трудности:

1) св€зь между векторами P и E не выражаетс€ простыми аналитическими формулами, и она не универсальна.

2) св€зь этих векторов рассчитать нелегко; только в последние годы делаютс€ попытки теоретического расчета, примен€€ квантовую механику, благодар€ развитию методов современной вычислительной физики.

ѕоэтому существует другой более простой путь, разработанный ранее, когда еще не существовало квантовой механики и четких представлений об атомно-молекул€рной структуре веществ, - найти св€зь между пол€ризацией и электрическим полем в веществе эмпирическим путем. ќпыт показывает, что св€зь

между векторами P и E дл€ большинства диэлектриков линейна и однородна, в широком диапазоне внешних полей, но не приближающихс€ к внутриатомным пол€м. ѕри этом необходимо отдельно рассматривать изотропные по пространственным свойствам диэлектрики и анизотропные. 1). ƒл€ изотропных диэлектриков и дл€ не слишком больших внешних полей (меньших внутриатомных)

вектора E и P пропорциональны и коллинеарны:

P = aE (2.3.8)

«десь коэффициент a - пол€ризуемость диэлектрика или диэлектрическа€ восприимчивость. ƒиэлектрическа€ восприимчивость определ€етс€ свойствами атомов и молекул вещества и может зависеть от плотности и температуры диэлектрика. “огда подставл€€ (2.3.8) в вектор индукции (2.3.6), получаем:

D = E + 4лaE = (l + 4^a)E = sE (2.3.9)

«десь мы ввели диэлектрическую проницаемость среды

S = 1 + 4ли. (2.3.10)

Ётой величиной характеризуют индивидуальные свойства изотропных диэлектриков. ≈сли рассматриваем

вакуум, то a = 0, s = 1 и D = E.

ѕримечание 3: в системе —» имеем P = js0E; D = (s0 + js0)E = s0sE; s = 1 + х.

2). јнизотропные среды: например, кристаллы. ƒл€ них направлени€ векторов E и P не совпадают, и поэтому св€зь между компонентами этих векторов осуществл€етс€ через более общую линейную зависимость:

(2.3.12)

P =Za jEj

(2.3.11)

ѕодробнее (2.3.11) можно переписать в виде:

P =a E +a E +a E

X XX x xy y xz z

P =a E +a E +a E

y yX X yy y yz z

P =a E +a E +a E

z zx X zy y zz z

 

«десь а ХХ - безразмерные коэффициенты, завис€щие от выбора координатных осей. —овокупность этих 9

коэффициентов |а iJ- j составл€ет тензор пол€ризуемости диэлектрика.

јналогично имеем дл€ св€зи векторов электрической индукции и электрической напр€женности

8 ]] =5 ]] + 4ка ]] (2.3.14)

D=Te,jE], (2.3.13)

|s j j - тензор диэлектрической проницаемости вещества:

8] =5] + 4к

ѕользу€сь законом сохранени€ энергии можно показать, что тензоры |а j j и j j симметричны, т.е.

где

а] =а i

(2.3.15)

8j =8 fi

“аким образом, в тензорах имеем 6 независимых величин - 6 компонент тензора диэлектрической

проницаемости j j. ќсновное физическое содержание соотношений (2.3.11)- (2.3.13) состоит в том, что

при включении внешнего электрического пол€ в общем случае смещение св€занных зар€дов и направление внутренних диполей происходит не в направлении приложенного пол€, а под некоторым углом к нему. ¬следствие этого суммарное электрическое поле внутри вещества становитс€ не только другим по величине, но и по направлению.

¬ дальнейшем дл€ простоты будем в основном говорить об изотропных диэлектриках.

ѕусть незар€женный шар из диэлектрика радиусом R внесен во внешнее однородное поле, напр€женность которого равна ≈0.

ƒиэлектрическа€ проницаемость шара eш отлична от диэлектрической проницаемости среды eс(рис. 1.37). ѕоскольку как внутри шара, так и вне его нет свободных зар€дов, то поле описываетс€ уравнением Ћапласа (1.12). –ешение данного уравнени€, записанного в сферической системе координат, провод€т методом разделени€ переменных (методом ‘урье). ѕоскольку это решение достаточно громоздко, то здесь приведем только окончательное выражение дл€ потенциала внутри и вне шара.

«десь U0 Ц потенциал точки, наход€щейс€ в центре шара; z = r?cosq.

Ќапр€женность пол€ внутри шара:

.

“аким образом, напр€женность пол€ внутри шара направлена вдоль оси z и не зависит от координат точки. Ёто значит, что внутри шара поле однородно. —ледовательно, шар пол€ризуетс€ однородно.

¬о внешнем пространстве электрическое поле искажаетс€ и около шара оно неоднородно и имеет две составл€ющие:





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1591 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тудент всегда отча€нный романтик! ’оть может сдать на двойку романтизм. © Ёдуард ј. јсадов
==> читать все изречени€...

743 - | 565 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.074 с.