Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


”равнени€ ћаксвелла дл€ зар€женных частиц в вакууме в тензорной форме, получение из них уравнений в дифференциальной векторной форме




”равнени€ ћаксвелла дл€ зар€дов в вакууме, получаемые путем вариации функционала действи€, представл€ют собой соотношени€, св€зывающие компоненты тензора электромагнитного пол€ и 4-вектора плотности электрического тока. “ензор электромагнитного пол€ €вл€етс€ кососимметричным тензором второго ранга типа . ¬ лабораторной системе координат , он имеет следующий вид [2]:

(1)

Ќаборы компонент и тензора составл€ют 3-векторы электрического и магнитного полей соответственно.

Ћабораторные координаты в дальнейшем будем обозначать , . ¬ведем координаты , соответствующие собственному времени:

, , , . (2)

–ассмотрим Ц тензор электромагнитного пол€ в координатах :

 

(3)

”становим соответствие между компонентами тензоров и . ƒл€ этого построим матрицы якоби замены координат на :

, , (4)

и вычислим €вно, как преобразуетс€ тензор электромагнитного пол€ [3]:

,

откуда

.

ѕерва€ пара уравнений ћаксвелла в тензорном виде имеет следующий вид [2]:

(5)

«десь операци€ Ц внешнее дифференцирование кососимметрического тензора

.

Ёта операци€ €вл€етс€ тензорной [4], то есть ее координатна€ запись не зависит от выбора системы координат. ѕоэтому

.

¬ силу этого перва€ пара трехмерных уравнений ћаксвелла в собственном времени:

,

где , , и обозначают дивергенцию и ротор в координатах , а .

–ассмотрим преобразование 4-вектора плотности электрического тока при переходе (2) из координат в координаты . ѕусть в координатах , где Ц плотность зар€да, Ц 3-плотность электрического тока. “огда в координатах

. (6)

¬тора€ пара уравнений ћаксвелла с помощью тензора электромагнитного пол€ и 4-вектора плотности тока записываетс€ в следующем виде:

, (7)

где обозначает ковариантное дифференцирование, а

,

где Ц метрический тензор в координатах ,

.

¬ координатах

.

 овариантное дифференцирование €вл€етс€ тензорной операцией. ”равнение (7) в произвольных координатах имеет следующий вид:

, (8)

где Ц символы  ристоффел€.

–ассмотрим второе слагаемое в уравнении (8). ¬ычислим символы  ристоффел€ в координатах [4]:

.

—реди всех комбинаций, возможных в правой части, только , , отличны от нул€. ¬о второе слагаемое (8) вход€т только те символы  ристоффел€ вида , которые равны нулю. “ретье слагаемое представл€ет собой свертку символов  ристоффел€, симметричных по нижним индексам с тензором, кососимметрическим по тем же индексам, поэтому оно равно нулю. «начит, в координатах уравнение (8) имеет вид:

ќтсюда следует втора€ пара трехмерных уравнений ћаксвелла:

,

где .

“аким образом, полна€ система уравнений ћаксвелла в собственном времени, то есть в координатах имеет следующий вид:

,





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 974 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ѕобеда - это еще не все, все - это посто€нное желание побеждать. © ¬инс Ћомбарди
==> читать все изречени€...

2021 - | 1877 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.013 с.