Понятия мощности и энергии в теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отражающими определенные свойства сигналов и динамику изменения их значений (отсчетов) во времени, в пространстве или по любым другим аргументам.
Для произвольного, в общем случае комплексного, сигнала s(t) = a(t)+jb(t), где а(t) и b(t) - вещественные функции, мгновенная мощность (instantaneous power) сигнала по определению задается выражением:
w(t) = s(t) s*(t) = [a(t)+jb(t)] [a(t)-jb(t)] = a2(t)+b2(t) = |s(t)|2, (2.2.1)
т.е. функция распределения мгновенной мощности по аргументу сигнала равна квадрату функции его модуля, для вещественных сигналов - квадрату функции амплитуд.
Аналогично для дискретных сигналов:
wn = sn s*n = [an+jbn] [an-jbn] = an2 + bn2 = |sn|2, (2.2.1')
Энергия сигнала (также по определению) равна интегралу от мощности по всему интервалу существования или задания сигнала. В пределе:
Еs = 
w(t)dt = |s(t)|2dt. (2.2.2)
Es = 
wn = |sn|2. (2.2.2')
Мгновенная мощность w(t) является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию на интервалах ненулевой длины:
w(t) = (1/Dt) 
|s(t)|2dt.
Энергия сигналов может быть конечной или бесконечной. Конечную энергию имеют финитные сигналы и сигналы, затухающие по своим значениям в пределах конечной длительности, которые не содержат дельта-функций и особых точек (разрывов второго рода и ветвей, уходящих в бесконечность). В противном случае их энергия равна бесконечности. Бесконечна также энергия периодических сигналов.
Как правило, сигналы изучаются на определенном интервале Т, для периодических сигналов - в пределах одного периода Т, при этом средняя мощность (average power) сигнала:
WT(t) = (1/T) 
w(t) dt = (1/T) |s(t)|2 dt. (2.2.3)
Понятие средней мощности может быть распространено и на незатухающие сигналы, энергия которых бесконечно велика. В случае неограниченного интервала Т строго корректное определение средней мощности сигнала должно производиться по формуле:
Ws = 
w(t) dt. (2.2.3')
Квадратный корень из значения средней мощности характеризует действующее (среднеквадратическое) значение сигнала (root mean sqare, RMS).
Применительно к электрофизическим системам, данным понятиям мощности и энергии соответствуют вполне конкретные физические величины. Допустим, что функцией s(t) отображается электрическое напряжение на резисторе, сопротивление которого равно R Ом. Тогда рассеиваемая в резисторе мощность, как известно, равна (в вольт-амперах):
w(t) = |s(t)|2/R,
а полная выделенная на резисторе тепловая энергия определяется соответствующим интегрированием мгновенной мощности w(t) по интервалу задания напряжения s(t) на резисторе R. Физическая размерность мощности и энергии в этом случае определяется соответствующей физической размерностью функции напряжения s(t) и сопротивления резистора R. Для безразмерной величины s(t) при R=1 это полностью соответствует выражению (2.2.1). В теории сигналов в общем случае сигнальные функции s(t) не имеют физической размерности, и могут быть формализованным отображением любого процесса или распределения какой-либо физической величины, при этом понятия энергии и мощности сигналов используются в более широком смысле, чем в физике. Они представляют собой специфические метрологические характеристики сигналов.
Из сравнения выражений (2.1.2) и (2.2.2) следует, что энергия и норма сигнала связаны соотношениями:
Es = ||s(t)||2, ||s(t)|| = 
(2.2.4)
Пример. Цифровой сигнал задан функцией s(n) = {0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,0,0,0....}.
Энергия сигнала: Es = 
s2(n) = 1+4+9+16+25+16+9+4+1 = 85. Норма: ||s(n)|| = 
» 9.22
Вычислим энергию суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t):
E = [u(t)+v(t)]2 dt = Eu + Ev + 2 u(t)v(t) dt. (2.2.5)
Как следует из этого выражения, энергии сигналов (а равно и их мощности), в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию:
Euv = 2 u(t)v(t) dt. (2.2.6)
Нетрудно заметить, что энергия взаимодействия сигналов равна их удвоенному скалярному произведению:
Euv = 2 áu(t), v(t)ñ. (2.2.6')
При обработке данных используются также понятия мощности взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t):
wxy(t) = x(t) y*(t), (2.2.7)
wyx(t) = y(t) x*(t),
wxy(t) = w*yx(t).
Для вещественных сигналов:
wxy(t) = wyx(t) = x(t) y(t). (2.2.8)
С использованием выражений (2.2.7-8) интегрированием по соответствующим интервалам вычисляются значения средней мощности взаимодействия сигналов на определенных интервалах Т и энергия взаимодействия сигналов.
