2:
, .
. , XVIII-XIX .
, . .
. , XX-XXI .
: 2.1. . . . . . . . 2.2. . . 2.3. . . . . . . . 2.4. . . . 2.5. . . . . .
, , , . , - , .
[1,3,16,29].
, . , , , , , , . , , 6-12 .
. L{s1(t), s2(t), } - , - . , sn(t) = Ancos(wnt+jn)exp(-at2) , . . , t R:=(-¥,+¥), Lp[R] , :
|
|
|s(t)|p dt < ¥.
, :
|s(t)|2 dt < ¥.
L2[0,2p] :
|s(t)|2 dt < ¥.
. L , :
1. u(t) Î L v(t) Î L s(t) = u(t)+v(t), L. : u(t)+v(t) = v(t)+u(t), : u(t)+(v(t)+x(t)) = (u(t)+v(t))+x(t).
2. s(t) Î L a y(t) = as(t), (t) Î L.
3. L Æ, u(t) Î L u(t)+Æ = u(t).
. L 10 . ?
, , , , ( 5 10 ). .
, , .
L, , ( ) . . .
s(t), [a, b]. ( N ):
s = (s1, s2, , sN).
s N- N- , sn s- . s1 s2 . 2.1.1. , s . N- N>3 , N- s sn . N , . , .
. 2.1.1. .
, . , .
|
|
||s(t)|| - (norm). . :
||s(t)|| = . (2.1.2)
, :
||s(t)|| = . (2.1.2')
:
||s(t)|| = , (2.1.2'')
s*(t) , s(t).
L , s(t) ||s(t)||, :
1. , (||s(t)|| = Æ, s(t) = Æ).
2. b : ||bs(t)|| = |b| × ||s(t)||.
3. v(t) u(t) L, : ||v(t)+u(t)|| £ ||v(t)|| + ||u(t)||.
. 2.1.2.
. 2.1.2. . |
. L , s(t) Î L v(t) Î L r(s(t),v(t)) (metric) . . 2.1.2.
:
1. r(s(t),v(t)) = r(v(t),s(t)) .
2. r(s(t),s(t)) = 0 s(t) Î L.
3. r(s(t),v(t)) £ r(s(t),a) + r(a,v(t)) a Î L.
(. . 2.1.2):
r(s(t),v(t)) = || s(t) v(t) ||. (2.1.3)
: ||s(t)|| = r(s(t),Æ).
, , , , - .
. 2.1.3. |
. (0,) A: s(t) = A×sin(pt/T), 0 £ t £ T. (t) (. . 2.1.3).
(t) , : r2(s,) = (A sin(pt/T)-)2 dt = A2T/2 - 4ABT/p + B2T.
r2(s,). , , , : = 2A/p 0.64. r2(s,), . : rmin 0.31A . = 1:
s = 2 sin2 (pt/T) dt = A2 T/2 = 10. : ||s(t)|| = = 0.707 A 3.16.
= B2 dt = B2 T 8.1. : ||(t)|| = = B 2.85.
u(t) v(t) () , áu(t), v(t)ñ.
áu(t), v(t)ñ = ||u(t)||×||v(t)|| cos j, (2.1.4)
(. 2.1.4). "" () "" .
. 2.1.4. .
, . , , v = F , , u = s , W = Fs , . , j , , .. W = sFcos j.
|
|
. 2.1.2. s v :
||s-v||2 = ||s||2 + ||v||2 2 ||s|| ||v|| cos j = ||s||2 + ||v||2 2 ás, vñ.
2 ás,vñ = ||s||2 + ||v||2 - ||s-v||2 = (s12+s22)+(v12+v22){(s1-v1)2+(s2-v2)2} = 2 (s1v1+s2v2).
ás,vñ = s1v1+s2v2.
:
ás(t), v(t)ñ = s(t)v(t) dt. (2.1.5)
, N- :
ásn, vnñ = sn vn. (2.1.5')
:
1. ás,vñ ³ 0;
2. ás,vñ = áv,sñ;
3. áas,vñ = aás,vñ, ;
4. ás+v, añ = ás,añ + áv,añ.
( - L2). - ( - R2). - ( (2.1.4) 1):
|ás,vñ| £ ||s||×||v||. (2.1.6)
:
ás(t), v(t)ñ = s(t)v*(t) dt. (2.1.7)
L2[a,b] b.
(2.1.4) :
cos j = ás(t),v(t)ñ /(||s||×||v||). (2.1.8)
. : s1(t) = 2 0 £ t £ 5, s1(t) = 0 t; s2(t) = 2 4 £ t £ 9, s2(t) = 0 t.
: ||s1||2 = s12(t)dt = 20. ||s2||2 = s22(t)dt = 20
: ás1,s2ñ = s1(t) s2(t) dt = 8.
: cos j = (s1,s2)/ (||s1||×||s2||) = 8/20 = 0.4 j 1.16 66
: ás1,s2ñ = s1(t) s2(t) dt = 20, cos j = 1, j = 0.
; ás1,s2ñ = 0, cos j = 0, j = 90.
"" . (2.1.8)
r2(s,v) = [s(t)-v(t)]2 dt = ||s||2 + ||v||2 - 2×||s||×||v|| cos j.
. j = 0 (cos j = 1) " " . j = p/2 (cos j = 0) " " ( ), 0. j = p (cos j = -1) " " . .
. , (2.1.8) 1 -1, ("" ). cos j = 1 , cos j = -1 . , r = cos j . . . 2.1.5 .
|
|
. 2.1.5. .
. .
. 2.1.6 . . (. ) .
. 2.4.1.
. :
: Ek = {-12,-10,-4,5,11,19,23,21,15,5,-3,-8}. : Dk = {15,18,22,28,33,35,33,32,30,28,21,17}.
- : Bk = {26,24,21,18,14,11,10,10,12,15,20,23}. : k = 1, 2, 3, , 12.
: ||E|| = = 45.39, ||D|| = = 93.05, ||B|| = = 61.9.
: áE, Dñ = = 2542, áE, Bñ = 268, áB, Dñ = 4876.
: : r ED = áE, Dñ / (||E|| ||D||) = 0.602.
-: r EB = 0.095, -: r DB = 0.847,
, . - -, - ( ) ( -) .
(0F = -17,8oC, 100oF = +37,8oC), . . , .. . .
2.1.1.
- - | 0.602 0.095 0.847 | 0.943 0.803 0.953 | 0.998 0.999 | 0.954 -0.988 -0.960 | 0.954 -0.988 -0.960 |
, . ( ) , 1, ( ), .. - .
, , , , , , ( ) "" . .
. ( , , ..).
- {1, 2, 3, } , , .
ei L , aiei = Æ ai. s(t) ei
|
|
s(t) = iei, (2.1.9)
i s(t) .
. , {v1, v2}, áv1, v2ñ = 0. ||v1|| = ||v2|| = 1 ( ) .
.
v1 = ( /2, 1/2), v2 = (-1/2, /2).
áv1, v2ñ = ( /2)(-1/2) + (1/2)( /2) = 0. .
||v1|| = = 1.
||v2|| = = 1. .
.
- s :
s = c1v1 + c2v2, (2.1.10)
1 2 s v1 v2, .. s {v1, v2}. :
c1 = ás, v1ñ, c2 = ás, v2ñ.
, (2.1.10) v1:
ás, v1ñ = á(c1v1+c2v2), v1ñ = á1v1, v1ñ + á2v2, v1ñ = 1áv1, v1ñ + 2áv2, v1ñ.
{v1, v2} :
áv1, v1ñ = ||v1||2 = 1, áv2, v1ñ = 0.
: ás, v1ñ = 1. c2 = ás, v2ñ.
. s = ( /2, 5/2) ,
v1 = ( /2, 1/2) v2 = (-1/2, /2) .
s = c1v1 + c2v2.
1 = ás, v1ñ = ( /2)( /2) + (5/2)(1/2) = 2.
2 = ás, v2ñ = ( /2)(-1/2) + (5/2)( /2) = .
: {v1, v2} s v1 v2. s = 2v1 + v2.