Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕространство сигналов [1,3,16,29]




—»√ЌјЋџ и Ћ»Ќ≈…Ќџ≈ —»—“≈ћџ

“ема 2: ћ≈“–ќЋќ√»я —»√ЌјЋќ¬

‘изическа€ величина более точно определ€етс€ уравнением, чем измерением.

ћакс ѕланк. Ќемецкий физик Ц теоретик, XVIII-XIX в.

ћежду тем, уравнение только математическа€ модель физической величины. ј без измерений пон€ти€ точности вообще не существует.

Ѕорис —тарцев. ”ральский геофизик Ц практик, XX-XXI в.

—одержание: 2.1. ѕространство сигналов. Ћинейное пространство сигналов. Ќорма сигналов. ћетрика сигналов. —кал€рное произведение сигналов.  оэффициент коррел€ции сигналов.  оординатный базис пространства. 2.2. ћощность и энерги€ сигналов. ѕон€ти€ мощности и энергии сигналов. 2.3. ѕространства функций. Ќормирование метрических параметров. ќртогональные сигналы. ќртонормированный базис пространства. –азложение сигнала в р€д. ќртонормированные системы функций. –азложение энергии сигнала. 2.4. ‘ункции коррел€ции сигналов.  оррел€ционные функции сигналов. ¬заимна€ коррел€ционна€ функци€. 2.5. ћатематическое описание шумов и помех. Ўумы и помехи. ѕрирода помех. ’арактеристики помех. Ћитература.

¬¬≈ƒ≈Ќ»≈

¬ данной теме метрологи€ сигналов рассматриваетс€, в основном, на уровне пон€тий и базовых определений, предвар€€ их более подробное изучение в дальнейших темах курса. Ёто объ€сн€етс€ тем, что при детальном изучении каких-либо характеристик или свойств сигналов их рассмотрение не может выполн€тьс€ в отрыве от других метрологических характеристик рассматриваемых типов сигналов и требует определенной ориентировки в общей метрологии сигналов, хот€ бы на уровне пон€тий.

ѕространство сигналов [1,3,16,29].

¬ажнейшее свойство аналоговых и дискретных сигналов заключаетс€ в том, что их линейные комбинации также €вл€ютс€ аналоговыми или дискретными сигналами. Ћинейные комбинации цифровых сигналов, в силу их ограничени€ по разр€дности, в принципе относ€тс€ к разр€ду нелинейных операций, однако последним фактором можно пренебречь, если ошибки, которые внос€тс€ в результаты наблюдений при квантовании отсчетов, достаточно малы по сравнению с шумами зарегистрированной информации. ѕри дискретизации и квантовании данных непосредственно на входах в Ё¬ћ последнее выполн€етс€ практически всегда, поскольку ошибки определ€ютс€ разр€дностью Ё¬ћ и программными системами обработки данных, которые обычно не ниже 6-12 дес€тичных разр€дов.

ѕространство сигналов. ѕусть L{s1(t), s2(t), Е} - множество сигналов, которые имеют какие-то общие свойства и определенную структуру св€зи между сигналами. Ќапример, множество может состо€ть из сигналов вида sn(t) = Ancos(wnt+jn)Јexp(-at2) Ц затухающих гармонических колебаний с определенными значени€ми амплитуд, частот и начальных фаз. ѕутем введени€ структурных ограничений множество сигналов может быть превращено в функциональное пространство сигналов. “ак, если пространство значений независимой переменной t задано выражением R:=(-¥,+¥), то пространство сигналов Lp[R] определ€ет множество сигналов в этом пространстве, дл€ которых выполн€етс€ условие однозначной реализации:

|s(t)|p dt < ¥.

ƒл€ анализа сигналов наиболее часто используетс€ гильбертово пространство, сигналы в котором должны удовлетвор€ть условию интегрировани€ с квадратом:

|s(t)|2 dt < ¥.

ѕериодические сигналы обычно рассматриваютс€ в пространстве L2[0,2p] одного периода:

|s(t)|2 dt < ¥.

Ћинейное пространство сигналов. ћножество сигналов L образует линейное пространство сигналов, если дл€ него справедливы следующие аксиомы:

1. ƒл€ любых сигналов u(t) Î L и v(t) Î L существует их сумма s(t) = u(t)+v(t), котора€ также содержитс€ в L. ќпераци€ суммировани€ коммутативна: u(t)+v(t) = v(t)+u(t), и ассоциативна: u(t)+(v(t)+x(t)) = (u(t)+v(t))+x(t).

2. ƒл€ любого сигнала s(t) Î L и числа a определен сигнал y(t) = as(t), у(t) Î L.

3. ћножество L содержит такой нулевой элемент Æ, что дл€ всех сигналов u(t) Î L выполн€етс€ равенство u(t)+Æ = u(t).

ѕример. ћножество сигналов L состоит из импульсных сигналов произвольной формы с амплитудой не более 10 вольт. ќбразуют ли эти сигналы линейное пространство?

Ќет, не образуют, так как не выполн€етс€, по крайней мере, перва€ аксиома линейного пространства (сумма двух сигналов с амплитудой более 5 вольт превышает 10 вольт). “ребуютс€ дополнительные структурные ограничени€ по параметрам сигналов.

—игналы могут описыватьс€ как вещественными, так и комплексными функци€ми, и линейные пространства также могут быть вещественными или комплексными.

ћножество L, дл€ которого выполн€ютс€ данные аксиомы, при анализе сигналов и систем может рассматриватьс€ как специальным образом сконструированное многомерное (в пределе Ц бесконечномерное) геометрическое пространство. —игналы таких линейных пространств называют векторами в силу аналогии их свойств со свойствами векторов. –ассмотрим это на конкретном примере.

ѕредставим себе произвольный сигнал s(t), заданный на интервале [a, b]. ƒискретизируем сигнал с равномерным шагом дискретизации и переведем в цифровую форму (представим N последовательными выборками):

s = (s1, s2, Е, sN).

¬ таком представлении величина s может рассматриватьс€ в виде N-мерного вектора в N-мерном пространстве, в котором значени€ sn представл€ют собой проекции s-вектора на координатные оси данного пространства. ƒвумерный вектор в двумерном пространстве Ц это точка с координатами s1 и s2 на рис. 2.1.1. —оответственно, в трехмерном пространстве сигнал s представлен точкой в трехмерном пространстве. ѕредставить себе N-мерное пространство при N>3 можно только абстрактно, но с математических позиций такое пространство вполне реально и N-мерный сигнал s отображаетс€ вполне определенной точкой в этом пространстве с координатами sn по ос€м пространства. ѕри уменьшении интервала дискретизации сигнала до бесконечно малой величины значение N стремитс€ к бесконечности, и пространство сигналов превращаетс€ в бесконечномерное пространство аналоговых сигналов. —ледовательно, и аналоговые сигналы могут рассматриватьс€ как предельный случай бесконечномерных векторов.

–ис. 2.1.1. ѕространства сигналов и функций.

— учетом вышеизложенного, дл€ математического анализа систем и сигналов в линейном пространстве может использоватьс€ математика векторов. ќсновными метрическими параметрами векторного анализа €вл€ютс€ норма, метрика и скал€рное произведение сигналов.

Ќорма сигналов в линейном пространстве €вл€етс€ аналогом длины векторов и обозначаетс€ индексом ||s(t)|| - норма (norm). ¬ математике существуют различные формы норм. ѕри анализе сигналов обычно используютс€ квадратичные нормы:

||s(t)|| = . (2.1.2)

—оответственно, дл€ дискретных сигналов:

||s(t)|| = . (2.1.2')

ƒл€ комплексных сигналов:

||s(t)|| = , (2.1.2'')

где s*(t) Ц величины, комплексно сопр€женные с s(t).

Ћинейное пространство сигналов L €вл€етс€ нормированным, если каждому сигналу пространства s(t) однозначно сопоставлена его числова€ норма ||s(t)||, и выполн€ютс€ следующие аксиомы:

1. Ќорма неотрицательна и равна нулю тогда и только тогда, когда сигнал равен нулю (||s(t)|| = Æ, при s(t) = Æ).

2. ƒл€ любого числа b должно быть справедливо равенство: ||bs(t)|| = |b| × ||s(t)||.

3. ≈сли v(t) и u(t) Ц сигналы из пространства L, то должно выполн€тьс€ неравенство треугольника: ||v(t)+u(t)|| £ ||v(t)|| + ||u(t)||.

ѕример норм дл€ двумерных цифровых сигналов приведен на рис. 2.1.2.

–ис. 2.1.2. Ќорма и метрика сигналов.

ћетрика сигналов. Ћинейное пространство сигналов L €вл€етс€ метрическим, если каждой паре сигналов s(t) Î L и v(t) Î L однозначно сопоставл€етс€ неотрицательное число r(s(t),v(t)) Ц метрика (metric) или рассто€ние между векторами. ѕример метрики дл€ двух векторов в двумерном пространстве приведен на рис. 2.1.2.

ƒл€ метрик сигналов в метрическом пространстве любой размерности должны выполн€тьс€ аксиомы:

1. r(s(t),v(t)) = r(v(t),s(t)) Ц рефлексивность метрики.

2. r(s(t),s(t)) = 0 дл€ любых s(t) Î L.

3. r(s(t),v(t)) £ r(s(t),a) + r(a,v(t)) дл€ любых a Î L.

ћетрика определ€етс€ нормой разности двух сигналов (см. рис. 2.1.2):

r(s(t),v(t)) = || s(t) Ц v(t) ||. (2.1.3)

¬ свою очередь норму можно отождествл€ть с рассто€нием от выбранного элемента пространства до нулевого: ||s(t)|| = r(s(t),Æ).

ѕо метрике сигналов можно судить, например, о том, насколько точно один сигнал может быть аппроксимирован другим сигналом, или насколько измен€етс€ выходной сигнал относительно входного при прохождении через какое-либо устройство.

–ис. 2.1.3.

ѕример. —игнал на интервале (0,“) представл€ет собой половину периода синусоиды амплитудой A: s(t) = A×sin(pt/T), 0 £ t £ T. “ребуетс€ аппроксимировать сигнал пр€моугольным импульсом п(t) (см. рис. 2.1.3).

≈сли прин€ть амплитуду импульса п(t) равной ¬, то квадрат рассто€ни€ между сигналами: r2(s,п) = (A sin(pt/T)-¬)2 dt = A2T/2 - 4ABT/p + B2T.

ƒл€ решени€ задачи требуетс€ найти минимум выражени€ r2(s,п). ƒифференцируем полученное выражение по ¬, приравниваем нулю и, реша€ относительно ¬, находим значение экстремума: ¬ = 2A/pї 0.64ј. Ёто искомое значение минимума функции r2(s,п), так как втора€ производна€ функции по ¬ положительна. ѕри этом минимальное значение метрики: rminї 0.31A . ¬ычислим нормы сигналов при ј = 1:

s = ј2 sin2 (pt/T) dt = A2 T/2 = 10. Ќорма: ||s(t)|| = = 0.707 A ї 3.16.

п = B2 dt = B2 Tї 8.1. Ќорма: ||п(t)|| = = B ї 2.85.

—кал€рное произведение произвольных сигналов u(t) и v(t) отражает степень их св€зи (сходства) по форме и положению в пространстве сигналов, и обозначаетс€ как áu(t), v(t)ñ.

áu(t), v(t)ñ = ||u(t)||×||v(t)|| cos j, (2.1.4)

‘изическую сущность скал€рного произведени€ векторов в двумерном пространстве можно видеть достаточно нагл€дно (рис. 2.1.4). Ёто произведение "длины" (нормы) одного вектора на проекцию второго вектора по "направлению" первого вектора.

–ис. 2.1.4. —кал€рное произведение сигналов в двумерном пространстве.

ѕри кажущейс€ абстрактности скал€рного произведени€ сигналов оно может приобретать вполне конкретный физический смысл дл€ конкретных физических процессов, которые отображаютс€ этими сигналами. “ак, например, если v = F Ц сила, приложенна€ к телу, а u = s Ц перемещение тела под действием этой силы, то скал€рное произведение W = FЈs определ€ет выполненную работу, при условии совпадени€ силы с направлением перемещени€. ¬ противном случае, при наличии угла j между векторами силы и перемещени€, работа будет определ€тьс€ проекцией силы в направлении перемещени€, т.е. W = sЈFЈcos j.

¬ычисление скал€рного произведени€ обычно производитс€ непосредственно по сигнальным функци€м. ѕо€сним это на примере двумерных сигналов с использованием рисунка 2.1.2. ƒл€ квадрата метрики сигналов s и v имеем:

||s-v||2 = ||s||2 + ||v||2 Ц 2 ||s|| ||v|| cos j = ||s||2 + ||v||2 Ц 2 ás, vñ.

2 ás,vñ = ||s||2 + ||v||2 - ||s-v||2 = (s12+s22)+(v12+v22)Ц{(s1-v1)2+(s2-v2)2} = 2 (s1v1+s2v2).

ás,vñ = s1v1+s2v2.

ќбобща€ полученное выражение на аналоговые сигналы:

ás(t), v(t)ñ = s(t)v(t) dt. (2.1.5)

—оответственно, дл€ дискретных сигналов в N-мерном пространстве:

ásn, vnñ = sn vn. (2.1.5')

—кал€рное произведение обладает следующими свойствами:

1. ás,vñ ³ 0;

2. ás,vñ = áv,sñ;

3. áas,vñ = aás,vñ, где а Ц вещественное число;

4. ás+v, añ = ás,añ + áv,añ.

Ћинейное пространство аналоговых сигналов с таким скал€рным произведением называетс€ гильбертовым пространством Ќ (второе распространенное обозначение - L2). Ћинейное пространство дискретных и цифровых сигналов - пространством ≈вклида (обозначение пространства - R2). ¬ этих пространствах справедливо фундаментальное неравенство  оши-Ѕун€ковского (модуль косинуса в (2.1.4) может быть только равным или меньше 1):

|ás,vñ| £ ||s||×||v||. (2.1.6)

ƒл€ комплексного гильбертова пространства скал€рное произведение вычисл€етс€ по формуле:

ás(t), v(t)ñ = s(t)v*(t) dt. (2.1.7)

ѕри определении функций в пространстве L2[a,b] вычисление скал€рного произведени€ производитс€ соответственно с пределами интегрировани€ от а до b.

»з выражени€ (2.1.4) следует косинус угла между сигналами:

cos j = ás(t),v(t)ñ /(||s||×||v||). (2.1.8)

ѕример. »меетс€ два смещенных во времени пр€моугольных импульса с одинаковой амплитудой и длительностью: s1(t) = 2 при 0 £ t £ 5, s1(t) = 0 при других t; и s2(t) = 2 при 4 £ t £ 9, s2(t) = 0 при других t.

 вадраты норм сигналов: ||s1||2 = s12(t)dt = 20. ||s2||2 = s22(t)dt = 20

—кал€рное произведение: ás1,s2ñ = s1(t) s2(t) dt = 8.

ќтсюда имеем: cos j = (s1,s2)/ (||s1||×||s2||) = 8/20 = 0.4 и jї 1.16 радианї 66о

ѕри полном совмещении сигналов: ás1,s2ñ = s1(t) s2(t) dt = 20, cos j = 1, j = 0.

ѕри отсутствии перекрыти€ сигналов; ás1,s2ñ = 0, cos j = 0, j = 90о.

‘изическое пон€тие "угла" между многомерными сигналами довольно абстрактно. ќднако при рассмотрении выражени€ (2.1.8) совместно с выражением дл€ квадрата метрики сигналов

r2(s,v) = [s(t)-v(t)]2 dt = ||s||2 + ||v||2 - 2×||s||×||v|| cos j.

можно отметить следующие закономерности. ѕри j = 0 (cos j = 1) сигналы "совпадают по направлению" и рассто€ние между ними минимально. ѕри j = p/2 (cos j = 0) сигналы "перпендикул€рны друг другу" (иначе говор€ Ц ортогональны), и проекции сигналов друг на друга равны 0. ѕри j = p (cos j = -1) сигналы "противоположны по направлению" и рассто€ние между сигналами максимально. ‘актор рассто€ни€ между сигналами играет существенную роль при их селекции в многоканальных системах.

 оэффициент коррел€ции сигналов. ќдновременно заметим, что значение косинуса в (2.1.8) измен€етс€ от 1 до -1, и не зависит от нормы сигналов ("длины" векторов). ћаксимальное значение cos j = 1 соответствует полной тождественности относительной динамики сигналов, минимальное значение cos j = -1 наблюдаетс€ при полной противоположности значений относительной динамики сигналов. ѕо существу, коэффициент r = cos j €вл€етс€ интегральным коэффициентом степени сходства формы сигналов по пространству их задани€. — учетом этого он и получил название коэффициента коррел€ции сигналов. Ќа рис. 2.1.5 можно нагл€дно видеть значени€ коэффициента коррел€ции двух сигналов в зависимости от их формы и сдвига по независимой переменной.

–ис. 2.1.5.  оэффициент коррел€ции сигналов.

ќднако количественные значени€ коэффициентов коррел€ции существенно завис€т от выбора нулевой точки сигнального пространства. –ассмотрим это более детально на конкретном примере.

Ќа рис. 2.1.6 приведено изменение средней мес€чной температуры воздуха в трех городах земного шара в течение одного календарного года. ’арактер коррел€ции между изменени€ми температур в городах достаточно хорошо виден на графиках. ¬ычислим (см. пример ниже) значени€ коэффициентов коррел€ции дл€ шкалы температур по ÷ельсию.

–ис. 2.4.1.

ѕример. —реднемес€чна€ температура воздуха в городах по ÷ельсию:

≈катеринбург: Ek = {-12,-10,-4,5,11,19,23,21,15,5,-3,-8}. ƒели: Dk = {15,18,22,28,33,35,33,32,30,28,21,17}.

Ѕуэнос - јйрес: Bk = {26,24,21,18,14,11,10,10,12,15,20,23}. Ќумераци€ мес€цев: k = 1, 2, 3, Е, 12.

Ќорма сигналов: ||E|| = = 45.39, ||D|| = = 93.05, ||B|| = = 61.9.

—кал€рные произведени€: áE, Dñ = = 2542, áE, Bñ = 268, áB, Dñ = 4876.

 оэффициенты коррел€ции: ≈катеринбург Ц ƒели: r ED = áE, Dñ / (||E|| ||D||) = 0.602.

≈катеринбург Ц Ѕуэнос-јйрес: r EB = 0.095, ƒели Ц Ѕуэнос-јйрес: r DB = 0.847,

 ак следует из вычислений, полученные коэффициенты коррел€ции маловыразительны. ѕрактически не регистрируетс€ разнонаправленна€ коррел€ци€ ≈катеринбург - Ѕуэнос-јйрос, и не различаютс€ одно- (≈катеринбург Ц ƒели) и разнонаправленные (ƒели Ц Ѕуэнос-јйрос) типы коррел€ции.

ѕовторим вычислени€ в шкале ‘аренгейта (0оF = -17,8oC, 100oF = +37,8oC), и в абсолютной шкале температур  ельвина. ƒополнительно вычислим значени€ коэффициентов коррел€ции в шкале ÷ельси€ и ‘аренгейта дл€ центрированных сигналов. ÷ентрированный сигнал вычисл€етс€ путем определени€ среднего значени€ сигнала по интервалу его задани€ и вычитани€ этого среднего значени€ из исходных значений сигнала, т.е. среднее значение центрированного сигнала равно нулю. —водные результаты вычислений приведены в таблице.

“аблица 2.1.1.

 оэффициенты коррел€ции сигналов

ѕары городов Ќецентрированные сигналы ÷ентрированные сигналы
÷ельсий ‘аренгейт  ельвин ÷ельсий ‘аренгейт
≈катеринбург Ц ƒели ≈катеринбург Ц Ѕуэнос-јйрес ƒели Ц Ѕуэнос-јйрес 0.602 0.095 0.847 0.943 0.803 0.953 0.998 0.999 0.954 -0.988 -0.960 0.954 -0.988 -0.960

 ак видно из таблицы, значени€ коэффициента коррел€ции нецентрированных сигналов существенно завис€т от положени€ сигналов относительно нулевой точки пространства. ѕри одностороннем смещении сигналов относительно нул€ (шкала ‘аренгейта) значение коэффициента коррел€ции может быть только положительным, и тем ближе к 1, чем дальше от сигналов нулева€ точка (шкала  ельвина), т.к. при больших значени€х сигналов-векторов значение скал€рного произведени€ сигналов стремитс€ к значению произведени€ норм сигналов.

ƒл€ получени€ значений коэффициентов коррел€ции, независимых от нул€ сигнального пространства и от масштаба единиц измерений, необходимо вычисл€ть коэффициент по центрированным сигналам, при этом в оценках коэффициента, как это видно из результатов, приведенных в таблице, по€вл€етс€ знаковый параметр совпадени€ (или несовпадени€) по "направлению" коррел€ции и исчезает зависимость от масштаба представлени€ сигналов. Ёто позвол€ет вычисл€ть коэффициенты коррел€ции различных сигналов вне зависимости от физической природы сигналов и их величины.

 оординатный базис пространства. ƒл€ измерени€ и отображени€ одномерных величин достаточно одного нормированного параметра Ц стандарта величины или единицы ее измерени€ (дл€ измерени€ длины Ц сантиметр, дл€ измерени€ тока Ц ампер, и т.п.).

¬ пространстве сигналов роль такого метрологического стандарта выполн€ет координатный базис пространства - подмножество векторов {е1, е2, е3, Е} со свойствами ортогональных координатных осей, по которым можно разложить любой произвольный сигнал, принадлежащий этому линейному пространству.

—овокупность векторов ei пространства L €вл€етс€ линейно независимой и образует координатный базис пространства, если равенство aiei = Æ выполн€етс€ только в случае одновременного обращени€ в нуль всех числовых коэффициентов ai. ѕри этом произвольный сигнал s(t) может быть разложен по координатному базису ei в виде

s(t) = сiei, (2.1.9)

где числа сi Ц проекции сигнала s(t) на координатный базис.

„исло базисных векторов определ€ет размерность векторного пространства. “ак, дл€ двумерных векторов в качестве ортогонального базиса пространства могут быть прин€ты векторы {v1, v2}, если выполн€етс€ условие их взаимной перпендикул€рности Ц нулевое значение скал€рного произведени€ áv1, v2ñ = 0. ѕри ||v1|| = ||v2|| = 1 эта пара векторов €вл€етс€ ортонормированным базисом с единичными векторами координатных осей в качестве стандарта (единицы измерени€) пространства.

ѕример. ћогут ли быть прин€ты в качестве координатного базиса двумерного пространства векторы

v1 = ( /2, 1/2), v2 = (-1/2, /2).

áv1, v2ñ = ( /2)Ј(-1/2) + (1/2)Ј( /2) = 0. ¬екторы ортогональны.

||v1|| = = 1.

||v2|| = = 1. ¬екторы нормированы.

¬екторы могут быть ортонормированным базисом пространства.

–азложение произвольного двумерного вектора - сигнала s в двумерном пространстве по координатным ос€м элементарно:

s = c1v1 + c2v2, (2.1.10)

где коэффициенты с1 и с2 выражают значени€ составл€ющих вектора s по направлени€м векторов v1 и v2, т.е. €вл€ютс€ проекци€ми вектора s на координатный базис пространства {v1, v2}. «начени€ проекций определ€ютс€ скал€рными произведени€ми:

c1 = ás, v1ñ, c2 = ás, v2ñ.

¬ последнем нетрудно убедитьс€, если вычислить скал€рные произведени€ левой и правой части выражени€ (2.1.10) сначала с вектором v1:

ás, v1ñ = á(c1v1+c2v2), v1ñ = áс1v1, v1ñ + áс2v2, v1ñ = с1áv1, v1ñ + с2áv2, v1ñ.

ѕри ортонормированности базиса {v1, v2} имеем:

áv1, v1ñ = ||v1||2 = 1, áv2, v1ñ = 0.

ќтсюда следует: ás, v1ñ = с1. јналогичным образом можно получить и выражение дл€ значени€ c2 = ás, v2ñ.

ѕример. –азложить вектор s = ( /2, 5/2) по базису, представленному векторами

v1 = ( /2, 1/2) и v2 = (-1/2, /2) из предыдущего примера.

s = c1v1 + c2v2.

с1 = ás, v1ñ = ( /2)Ј( /2) + (5/2)Ј(1/2) = 2.

с2 = ás, v2ñ = ( /2)Ј(-1/2) + (5/2)Ј( /2) = .

–езультат: ¬ пространстве с базисом {v1, v2} вектор s однозначно определ€етс€ двум€ векторами v1 и векторами v2. s = 2v1 + v2.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-06; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2914 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ƒаже страх см€гчаетс€ привычкой. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2236 - | 1960 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.068 с.