Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


”равнение неразрывности




√Ћј¬ј III. √»ƒ–ќƒ»Ќјћ» ј

ќсновные пон€ти€ гидродинамики

 

√идродинамика Ц это раздел гидравлики, в котором изучаютс€ закономерности движени€ жидкости.

√идродинамика, или динамика жидкости, существенно отличаетс€ от динамики твердого тела. ќтдельные частицы твердого тела жестко св€заны друг с другом, а в движущейс€ жидкой среде такие св€зи отсутствуют, жидка€ среда состоит из множества частиц, движущихс€ одна относительно другой. «аконы гидродинамики, определ€ющие закономерности движени€ жидкости, сложнее законов поко€щейс€ жидкости. ¬ поко€щейс€ жидкости существует лишь одна характерна€ величина Ц гидростатическое давление. ѕри движении состо€ние жидкости определ€етс€ не только давлением, но и величинами и направлением скоростей и ускорений отдельных частиц жидкости. —корости в данной точке пространства, зан€того движущейс€ жидкостью, €вл€ютс€ в общем случае функци€ми координат этой точки и времени.

«адача гидродинамики Ц установление св€зи в движущемс€ потоке между давлением и кинематическими характеристиками потока. ¬еличины скорости и давлени€ могут измен€тьс€ в зависимости от времени и координат рассматриваемой точки.

¬ведем пон€тие идеальной жидкости Ц это така€ воображаема€ жидкость, котора€ совершенно лишена в€зкости. ¬ такой нев€зкой идеальной жидкости возможен лишь один вид внутренних напр€жений Ц нормальные напр€жени€ сжати€, т. е. гидромеханическое давление или просто давление. ƒавление в движущейс€ идеальной жидкости обладает теми же свойствами, что и в неподвижной жидкости:

Ј на внешней поверхности жидкости давление направлено по внутренней нормали;

Ј в любой точке внутри жидкости давление по всем направлени€м одинаково.

ѕри рассмотрении движени€ жидкости различают установившеес€ и неустановившеес€ движение.

≈сли скорость и давление завис€т только от координат, т. е. в любой точке потока несжимаемой жидкости эти величины с течением времени остаютс€ неизменными, то такое движение называетс€ установившимс€. ѕри установившемс€ движении скорость и давление €вл€ютс€ функцией только координат точки:

u = f (x, y, zp = f (x, y, z).

ѕример установившегос€ движени€ Ц течение воды по трубопроводу при посто€нном напоре.

≈сли давление и скорость в потоке завис€т не только от координат, но и от времени, т. е.

u = f (t, x, y, zp = f (t, x, y, z).

то такое движение называетс€ неустановившимс€.

ѕримерами неустановившегос€ движени€ могут быть Ц разгон или торможение жидкости в трубах при включении (выключении) насосов, истечение воды при опорожнении резервуара через отверстие и т. п.

”становившеес€ движение бывает равномерныминеравномерным.

–авномерным называетс€ движение, при котором скорости жидкости не мен€ютс€ и с течением времени, и по длине потока, т. е. в сходственных точках поперечных сечений скорости одинаковы по всей длине потока.

≈сли при движении скорости жидкости, не измен€€сь во времени, мен€ютс€ по длине потока, то такое установившеес€ движение называетс€ неравномерным. “акой характер движени€ бывает при сужении или расширении потока в реке, на повороте, в конфузорах и диффузорах.

Ќапорным называетс€ такое движение, при котором поток со всех сторон ограничен твердыми, жесткими направл€ющими стенками. ќбычно это Ц движение жидкости в трубах при полном их заполнении (водопроводы, нефтепроводы). “акое движение происходит за счет избыточного давлени€, создаваемого насосом или водонапорным баком.

ƒвижение, при котором поток лишь частично ограничен твердыми стенками и имеет свободную поверхность, называетс€ безнапорным. Ќапример, течение в реках, водосливных лотках, канализационных трубах. ƒавление на свободной поверхности обычно равно атмосферному. ƒвижение в таких потоках происходит за счет геометрического уклона русла, т. е. под действием силы т€жести.

¬ведем еще некоторые определени€.

—овокупность или геометрическое место точек, через которые последовательно проходит жидка€ частица при своем движении, называетс€ траекторией частицы.

ѕри установившемс€ движении траектории частиц жидкости €вл€ютс€ неизменными во времени.

ѕри неустановившемс€ течении траектории различных частиц, проход€щих через данную точку пространства, могут иметь разную форму.

Ћини€ тока Ц это лини€, касательна€ к которой в любой точке совпадает с направлением вектора скорости частиц жидкости в данный момент времени (рис. 3.1).

–ис. 3.1

ѕри установившемс€ течении лини€ тока совпадает с траекторией частицы жидкости и не мен€ет своей формы во времени.

≈сли в движущейс€ жидкости вз€ть малый замкнутый контур и через все его точки провести линии тока, то образуетс€ трубчата€ поверхность, называема€ трубкой тока. ≈сли уменьшать размеры замкнутого контура, то часть потока, заключенна€ внутри трубки тока станет элементарной струйкой, т. е. такой струйкой, в поперечном сечении которой скорости можно считать одинаковыми Ц рис. 3.2.

–ис. 3.2

 

ѕри установившемс€ движении:

Ј элементарна€ струйка не мен€ет своей формы и ориентации в пространстве;

Ј нормальные составл€ющие скорости на линии тока равны нулю, следовательно, перетекани€ жидкости через боковую поверхность данной струйки нет, и трубку тока можно рассматривать как жесткую трубку с непроницаемыми стенками;

Ј нормальные сечени€ струйки dS 1, dS 2 (рис. 3.2) малы, но не одинаковы в разных сечени€х, поэтому пучок линий тока внутри трубки может сгущатьс€ и расшир€тьс€;

Ј так как поперечные сечени€ струйки малы, скорости во всех точках таких сечений можно считать одинаковыми, однако при переходе от одного сечени€ к другому они измен€ютс€.

ѕри дальнейшем стремлении поперечных размеров струйки к нулю она в пределе ст€гиваетс€ в линию тока.

ѕеретекани€ жидкости из одной струйки тока в другую нет, элементарна€ струйка представл€ет собой самосто€тельный элементарный поток. “аким образом, жидкость втекает во входное отверстие струйки тока и вытекает через выходное, не проника€ через ее боковые поверхности. ѕотоки конечных размеров можно рассматривать как совокупность элементарных струек, т. е. предполагать течение струйным. »з-за различи€ скоростей струйки будут как бы скользить одна по другой, но перемешиватьс€ не будут.

¬ведение таких представлений дает возможность использовать дл€ элементарной струйки математический аппарат дифференциального исчислени€ и интегрировани€ по всему сечению потока дл€ получени€ уравнений и закономерностей движени€ жидкости.

ƒвижение жидкости, при котором линии тока €вл€ютс€ строго параллельными пр€мыми, будем называть параллельноструйным. Ќа практике часто встречаютс€ течени€, отличные от параллельноструйных.

–ис. 3.3

 

ѕлавно измен€ющеес€ движение Ц это движение, близкое к параллельноструйному, при котором радиус кривизны линий тока достаточно велик, а угол, образованный крайними лини€ми тока рассматриваемого потока (или элементарной струйки), близок к нулю (угол θ, рис. 3.3).

Ќазовем живым сечением потока поверхность, проведенную перпендикул€рно лини€м тока и наход€щуюс€ внутри потока. ѕоскольку распределение скоростей в потоках в общем случае неравномерно, линии тока в них не параллельны друг другу и живые сечени€ представл€ют собой криволинейные поверхности. Ќапример, при движении жидкости в конически расход€щейс€ трубе (рис. 3.4), когда поток состоит из расход€щихс€ элементарных струек, живое сечение представл€ет собой криволинейную поверхность ABC. ≈сли линии тока в потоке будут параллельными (течение параллельноструйное), живое сечение будет плоским.

–ис. 3.4

 

∆ивое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично.

–ис. 3.5

 

 

¬еличина живого сечени€ определ€етс€ его площадью. ќднако услови€ течени€ жидкости завис€т не только от площади живого сечени€, но и от его формы. Ќа рис. 3.5 представлены поперечные сечени€ двух каналов. ’от€ живые сечени€ обоих каналов представл€ют собой пр€моугольники с равновеликими площад€ми, очевидно, что услови€ движени€ жидкости по ним будут разными из-за неодинакового отношени€ глубины к ширине потока.

ƒлина линии поперечного сечени€, по которой жидкость соприкасаетс€ с твердой границей потока, называетс€ смоченным периметром. ѕри напорном течении жидкости, когда поток со всех сторон ограничен твердыми стенками, смоченный периметр будет равен полному периметру живого сечени€. ¬ случае безнапорного течени€ часть периметра поперечного сечени€ потока, приход€ща€с€ на свободную поверхность жидкости, не включаетс€ в расчет смоченного периметра.

ƒл€ трубы радиуса r, полностью заполненной жидкостью, смоченный периметр равен (рис. 3.6. а)

.

¬ случае безнапорного течени€ в канале пр€моугольного поперечного сечени€ (рис. 3.6. б)

.

ќтношение площади сечени€ потока жидкости ω к смоченному периметру называетс€ гидравлическим радиусом R.

ƒл€ напорного потока в круглой трубе (рис. 3.6. а)

ƒл€ безнапорного потока (рис. 3.6. б)

.

»з этой формулы пон€тно, что гидравлический радиус канала а на рис. 3.5 больше гидравлического радиуса канала б.

a б
–ис. 3.6

 

–асходом называют количество жидкости (в объемных или весовых единицах), протекающее через поперечное (живое) сечение потока в единицу времени. ¬ зависимости от того, в каких единицах определ€етс€ количество жидкости, различают объемный Q, весовой Q в и массовый Q м расходы. «ависимость между ними следующа€

где V Ц количество (объем) жидкости;

Ц плотность жидкости;

g Ц ускорение свободного падени€.

¬ гидравлике чаще всего используют объемный расход, далее под термином Ђрасходї будем понимать именно объемный расход, если специально не оговорим иное.

–ассмотрим движение жидкости на участке элементарной струйки (рис. 3.7). „астичка жидкости перемещаетс€ от сечени€ 1 к сечению 2 за промежуток времени dt, проход€ при этом рассто€ние l. ѕоскольку стенки трубки тока непроницаемы дл€ движущейс€ жидкости, количество жидкости, прошедшее через сечение 1 за врем€ dt будет равным объему цилиндра:

,

где Ц площадь живого сечени€ струйки.

–ис. 3.7

 

Ёлементарный объемный расход, т. е. количество жидкости, прохо-д€щее в единицу времени через живое сечение элементарной струйки, определитс€ как

.

≈сли рассматривать поток жидкости как совокупность элементарных струек, то общий расход потока определитс€ как сумма элементарных расходов отдельных струек:

.

„тобы вычислить расход по этой формуле, нужно знать распределение скорости движени€ жидкости во всех точках живого сечени€ (рис. 3.8). „тобы упростить расчеты дл€ практического применени€, вводитс€ пон€тие средней скорости потока.

—редн€€ скорость в сечении Ц это скорость, с которой данное сечение должны проходить все частицы жидкости, чтобы расход Q дл€ этого сечени€ был равен действительному расходу при неравномерном распределении скоростей по сечению.

 

–ис. 3.8

 

“огда уравнение расхода дл€ полного потока запишетс€ как

,

где: Ц средн€€ по сечению скорость жидкости.

—реднюю скорость тогда можно определить как

.

—редн€€ скорость по живому сечению Ц абстрактное пон€тие, введенное дл€ упрощени€ изучени€ движени€ жидкости.

”равнение неразрывности

 

”равнение неразрывности как дл€ элементарной струйки, так и дл€ всего потока Ц это математическое выражение услови€ сплошности потока при установившемс€ течении жидкости.

¬ыделим в потоке элементарную струйку (рис. 3.9).

–ис. 3.9

 

–ассмотрим участок между сечени€ми 1 Ц 1 и 2 Ц 2. «а врем€ dt внутрь этого участка через сечение 1 Ц 1 войдет количество жидкости, равное объему цилиндра с площадью основани€ dS 1 и образующей u 1 dt. „ерез сечение 2 Ц 2 за это же врем€ вытечет объем жидкости, равный . ќтметим следующие обсто€тельства:

Ј через боковые поверхности элементарной струйки жидкость не проникает (таково свойство трубки тока);

Ј жидкость несжимаема и в ней отсутствуют пустоты и разрывы.

Ёто означает, что будет справедливым равенство

,

откуда

  . (3.1)

ƒл€ других сечений будут справедливы такие же соотношени€:

.

Ёто уравнение (3.1) и выражает условие неразрывности элементарной струйки, из него следует, что через все сечени€ струйки проходит одинаковый расход жидкости. »з уравнени€ пон€тно, что

,

т. е. скорости течени€ в разных сечени€х элементарной струйки обратно пропорциональны площад€м этих сечений.

ƒл€ полного потока уравнение неразрывности можно получить, проинтегрировав уравнение (3.1) по площад€м соответствующих сечений полного потока (рис. 3.9):

.

»спользу€ пон€тие средней скорости по сечению

,

можно записать

  . (3.2)

“ак как сечени€ 1 Ц 1 и 2 Ц 2 выбраны произвольно, то и дл€ любых других сечений это равенство будет справедливо.

  . (3.3)

”равнени€ (3.2) и (3.3) и есть уравнени€ неразрывности полного потока. ќни показывают, что объемный расход несжимаемой жидкости при установившемс€ движении остаетс€ посто€нным вдоль всего потока.

»з уравнени€ (3.2) следует, что средние скорости потока обратно пропорциональны площад€м соответствующих живых сечений:

.

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-06; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1677 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

“ак просто быть добрым - нужно только представить себ€ на месте другого человека прежде, чем начать его судить. © ћарлен ƒитрих
==> читать все изречени€...

2214 - | 1953 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.043 с.