Лекции.Орг


Поиск:




Частоты собственных колебаний




Решим задачу, пренебрегая влиянием трения на частоты собственных колебаний. Поскольку решается однородная система, то из (*) получаем

,

. (**)

Ищем решение в виде , и после подстановки в (**), получаем однородную систему линейных уравнений относительно А12

,

ненулевое (нетривиальное) решение которой возможно только при равенстве нулю определителя системы, т.е.

.

Решение в виде косинусов дает тот же результат.

Аналогичное уравнение получается и для системы с n степенями свободы. Однако для двух степеней свободы получает решаемое в квадратурах биквадратное алгебраическое уравнение относительно собственных частот. Его решение –

.

Отношение называют коэффициентом формы собственных колебаний. Для двухмассовой системы это

.

Для системы с n степенями свободы решение возможно только численно.

В нашем примере, поделив массу стержня m на две равные части, получаем собственные частоты

, , .

Собственные колебания масс по первой частоте синфазные, а по второй - противофазные. Равенство коэффициентов формы единице в примере определяется симметрией задачи.

Заметим для сравнения, что если считать задачу одномассовой с массой посредине, то

и частота собственных колебаний .

Результат иллюстрирует общее свойство собственных частот: низшая частота системы с n степенями свободы всегда несколько больше низшей частоты с меньшим числом степеней свободы.

Для системы с n степенями свободы собственные частоты получаются численным решением уравнения

.

В качестве примера рассмотрим результат расчета собственных частот при распределении массы в трех равноудаленных точках:

 

.

Податливости определялись численно и для повышения точности усреднялись: и т.д. Как видно, первые две частоты больше, чем определенные для двух степеней свободы. Таким образом, подтверждается правило: расчет по конечномассовой модели всегда дает нижнюю оценку собственных частот.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-06; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 727 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Есть только один способ избежать критики: ничего не делайте, ничего не говорите и будьте никем. © Аристотель
==> читать все изречения...

768 - | 730 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.012 с.