Лекции.Орг

Поиск:


Теорема Кронекера-Капелли




I Понятие ранга матрицы.

Рассмотрим произвольную матрицу А=(аij), i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

Минором k-го порядка матрицы А называют определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы А (конечно, k≤min(m,n)).

Предположим, что хотя бы один из элементов aij матрицы А отличен от нуля. Тогда найдется такое натуральное число r, что будут выполнены два условия: 1) у матрицы А имеется минор r-го порядка, отличной от нуля; 2) всякий минор (r+1)-го порядка и более высокого (если таковые существуют), равен нулю.

Число r, удовлетворяющее требованиям 1) и 2), называют рангом матрицы А. Тот минор r-го порядка, который отличен от 0, называют базисным минором (конечно, у матрицы может быть несколько миноров r-го порядка, отличных от нуля). Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называют базисными строками и базисными столбцами.

Смысл понятия ранга матрицы проясняет следующее утверждение, которое называют теоремой о базисном миноре:

базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы; любая другая строка (столбец) является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

В связи с этой теоремой рангом матрицы называют также максимальное число линейно независимых столбцов (строк) матрицы.

 

II Критерий совместности системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений

(1)

Наряду с основной матрицей системы А=(аij) рассмотрим еще и так называемую расширенную матрицу А1, полученную присоединением к А столбца свободных членов:

 

 

Вопрос о совместности системы полностью решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы этой системы равен рангу её основной матрицы.

Эта теорема только утверждает существование, но не дает, однако, никакого способа для практического разыскания всех решений системы.






Дата добавления: 2015-05-05; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 414 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Поиск на сайте:

Рекомендуемый контект:




© 2015-2021 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.001 с.