I Понятие ранга матрицы.
Рассмотрим произвольную матрицу А= (аij), i= 1,2,…, m; j= 1,2,…, n.
Минором k- го порядка матрицы А называют определитель k- го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы А (конечно, k≤ min(m, n)).
Предположим, что хотя бы один из элементов aij матрицы А отличен от нуля. Тогда найдется такое натуральное число r, что будут выполнены два условия: 1) у матрицы А имеется минор r- го порядка, отличной от нуля; 2) всякий минор (r+ 1)-го порядка и более высокого (если таковые существуют), равен нулю.
Число r, удовлетворяющее требованиям 1) и 2), называют рангом матрицы А. Тот минор r- го порядка, который отличен от 0, называют базисным минором (конечно, у матрицы может быть несколько миноров r- го порядка, отличных от нуля). Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называют базисными строками и базисными столбцами.
Смысл понятия ранга матрицы проясняет следующее утверждение, которое называют теоремой о базисном миноре:
базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы; любая другая строка (столбец) является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).
В связи с этой теоремой рангом матрицы называют также максимальное число линейно независимых столбцов (строк) матрицы.
II Критерий совместности системы линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений
(1)
Наряду с основной матрицей системы А= (аi j) рассмотрим еще и так называемую расширенную матрицу А 1, полученную присоединением к А столбца свободных членов:
Вопрос о совместности системы полностью решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы этой системы равен рангу её основной матрицы.
Эта теорема только утверждает существование, но не дает, однако, никакого способа для практического разыскания всех решений системы.
