обратной матрицы
Весьма удобно записывать систему линейных уравнений
(1)
в матричной форме, а именно: если А= (аij) – основная матрица системы, а В и X – столбцы свободных членов и неизвестных, то (1) можно записать в виде
A·X=B. (2)
Как и в предыдущем параграфе, предположим, что определитель системы Δ≠0. Отсюда вытекает, что основная матрица системы имеет обратную А- 1. Умножим обе части матричного равенства (2) на матрицу А- 1. Используя ассоциативность умножения матриц и роль единичной матрицы, как единицы при умножении матриц, будем иметь:
A- 1 (AX)= A- 1 B,
(A- 1 A)X= A- 1 B,
EX= A- 1 B,
X= A- 1 B. (3)
Последнее равенство и дает выражение столбца неизвестных через обратную матрицу и столбец свободных членов. Вспомним вид обратной матрицы
A- 1 = (Аji/ Δ) и приравняем j- е элементы столбцов, стоящих в левой и правой частях (3):
или
.
Выражение, стоящее в скобках, есть не что иное, как разложение определителя Δ j (из предыдущего параграфа) по j- му столбцу. Поэтому (3) равносильно
,
и мы снова пришли к формулам Крамера.
Итак, если определитель Δ основной матрицы А системы линейных уравнений отличен от нуля, то существует и притом единственное решение матричного уравнения
АХ=В,
определяемое соотношением
Х=А -1 В,
которое эквивалентно формулам Крамера.
